Начал заниматься футболом в школе московского «Локомотива», откуда перешёл в школу «Сатурна». Затем, в возрасте 16 лет, ушёл в футбольную школу московского «Спартака»[2][3].
С 2004 года начал выступать за дубль «красно-белых». Дебютировал в основном составе «Спартака» 26 ноября 2006 года в матче чемпионата России против «Крылья Советов». Этот матч стал единственным проведённым в основе «Спартака» в том году. 15 января 2009 года на правах годичной аренды перешёл в «Томь»[4]. Основной причиной перехода стало желание Андрея проводить больше времени на поле[5], чего главный тренер «Спартака», Микаэль Лаудруп, не мог ему обеспечить[6]. В составе «Томи» дебютировал 15 марта 2009 года в матче чемпионата России против «Крыльев Советов» (0:1), отыграв весь матч. В конце сезона «Томь» предприняла попытку выкупить трансфер Иванова[7], но получила отказ. 10 марта 2010 года во второй раз подряд был отдан в аренду в «Томь»[8]. 5 июня появилась информация, что Иванов вернётся в «Спартак» в летнее трансферное окно[9]. 2 июля московский «Спартак» принял решение вернуть Иванова из аренды[10]. 6 августа он был заявлен за московский клуб[11].
11 января 2011 года подписал контракт на 3,5 года с московским «Локомотивом»[12]. 21 сентября 2011 года забил единственный гол за «Локомотив» в 1/8 финала Кубка России в матче против клуба «Луч-Энергия» (1:0). 17 июля 2012 года на правах аренды перешёл в «Ростов»[13]. В 2014 году подписал контракт с «Сибирью». 30 июня 2016 года заключил контракт с клубом «СКА-Хабаровск»[14].
Перед сезоном 2017/18 подписал с московским «Торпедо» двухлетний контракт, который был расторгнут по соглашению сторон 9 августа 2018 года[15].