Колебание функции

---

Колебание функции на множестве ${\displaystyle E}$ — точная верхняя грань модуля разности значений функции на всевозможных парах точек ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle E}$.

Величина ${\displaystyle \omega (f,E)=\sup _{x_{1},x_{2}\in E}|f(x_{1})-f(x_{2})|}$ называется колебанием функции ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ на множестве ${\displaystyle E\subset X}$.

Если теперь фиксировать ${\displaystyle \delta >0}$, то можно определить колебание функции ${\displaystyle f}$ на множестве ${\displaystyle U_{E}^{\delta }(a)}$; функция ${\displaystyle \omega (f,a,\delta )=\omega \left(f,U_{E}^{\delta }(a)\right)}$ является невозрастающей функцией при ${\displaystyle \delta \to +0}$ и ограниченной снизу, поэтому она

Это определение можно использовать для формулировки Критерия Коши существования предела функции и критерия непрерывности функции в точке^[1].

---