Воспитанник хоккейной школы «Динамо» им. А. И. Чернышева. В 2012 году был защищён свои клубом на драфте юниоров КХЛ. Профессиональную карьеру начал в молодежной команде «Динамо» в сезоне 2011/2012, отыграв по одному матчу в регулярном сезоне и в плей-офф.
С 2012 по 2014 года молодой вратарь выступал в Хоккейной лиге Онтарио, в составе команды «Сагино Спирит». В 2013 году Никита Серебряков был вызван под флаг юниорской сборной России, для участия в чемпионате Мира среди юниоров, который проходил с 18 по 28 апреля 2013 года в Сочи. На уровне OHL, за вышеуказанный период времени, Серебряков провёл 61 матч (включая игры плей-офф). 30 ноября 2014 года игрок вернулся в расположение родного «Динамо».
В сезоне 2015/2016 стал игроком команды фарм-клуба — «Динамо (Балашиха)», в составе которого отыграл 25 матчей (включая 1 игру в плей-офф). За основную команду динамовцев Никита Серебряков так и не выступил, хотя и привлекался к тренировкам с основной командой и даже попадал в заявку на матчи Континентальной хоккейной лиги.
В сезоне 2016/2017 Серебряков перебрался в клуб КХЛ — «Адмирал», в составе которого, 26 августа 2016 года наконец дебютировал в КХЛ, в домашнем матче «Адмирала» против ярославского «Локомотива», выйдя на послематчевую, буллитную серию[1]. Уже на следующий день Никита Серебряков вышел на лёд с первых минут, в матче против «Витязя» (5:4)[2]. Помимо матчей в составе «Адмирала» Серебряков привлекался в состав клуба «Сахалин», для участия в матчах Азиатской хоккейной лиги. На следующий сезон Серебряков продолжил чередовать игры за «Адмирал» и фарм клуб — «Южный Урал» из города Орск. В сезоне 2018/2019 получил больше игровой практики в КХЛ, проведя на льду 40 матчей при показателе отраженных бросков в 91,6 %. В конце февраля 2019 года Серебряков был вызван в состав сборной России для участие в Универсиаде, которая проходила со 2 по 10 марта в Красноярске[3]. На этом турнире завоевал золотые медали. Перед началом сезона 2019/2020 у вратаря произошёл конфликт с руководством «Адмирала» из-за задолжности по зарплате, в связи с чем игрок не поехал на летние сборы с командой и был отстранён от игр на неопределённый срок[4][5]. Несмотря на это, Серебряков был вызван в состав олимпийской сборной России, для участия в международных турнирах.
В конце 2019 года «Адмирал» обменял права на Серебряков в нижегородское «Торпедо» на денежную компенсацию в размере 5 миллионов рублей[6].