Бьянки группа

В математике , A группа Bianchi является группой вида

${\ displaystyle PSL_ {2} ({\ mathcal {O}} _ {d})}$

где d - положительное целое число без квадратов . Здесь PSL обозначает проективную специальную линейную группу и представляет собой кольцо целых чисел мнимого квадратичного поля .${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {d}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-d}})}$

Группы были впервые изучены Бьянки  ( 1892 ) как естественный класс дискретных подгрупп в , теперь называемых клейновыми группами .${\ Displaystyle PSL_ {2} (\ mathbb {C})}$

Как подгруппа , группа Бианки действует как сохраняющие ориентацию изометрии трехмерного гиперболического пространства . Фактор-пространство - это некомпактное трехмерное гиперболическое многообразие с конечным объемом, которое также называется многообразием Бианки . Точная формула для объема в терминах дзета-функции Дедекинда базового поля была вычислена Гумбером следующим образом. Пусть - дискриминант , и , разрывное действие на , тогда${\ Displaystyle PSL_ {2} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {3}}$${\ Displaystyle M_ {d} = PSL_ {2} ({\ mathcal {O}} _ {d}) \ обратная косая черта \ mathbb {H} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-d}})}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-d}})}$${\ Displaystyle \ Gamma = SL_ {2} ({\ mathcal {O}} _ {d})}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

${\displaystyle \mathrm {vol} (\Gamma \backslash \mathbb {H} )={\frac {|D|^{\frac {3}{2}}}{4\pi ^{2}}}\zeta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}(2)\ .}$

Множество куспидов находится в биекции с группой классов . Хорошо известно, что любая некокомпактная арифметическая клейнова группа слабо соизмерима с группой Бианки. ^[1]${\displaystyle M_{d}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$

Ссылки [ править ]

• Бьянки, Луиджи (1892). "Sui gruppi di sostituzioni lineari con coefficienti appartenenti a corpi quadratici imaginarî" (PDF) . Mathematische Annalen . Springer Berlin / Heidelberg. 40 (3): 332–412. DOI : 10.1007 / BF01443558 . ISSN  0025-5831 . JFM  24.0188.02 .
• Эльстродт, Юрген; Грюневальд, Фриц; Меннике, Йенс (1998). Группы, действующие на гиперболических пространствах . Монографии Спрингера по математике . Springer Verlag . ISBN 3-540-62745-6. Zbl  0888.11001 .
• Хорошо, Бенджамин (1989). Алгебраическая теория групп Бианки . Монографии и учебники по чистой и прикладной математике. 129 . Нью-Йорк: ISBN Marcel Dekker Inc. 978-0-8247-8192-7. Руководство по ремонту  1010229 . Zbl  0760.20014 .
• Fine, B. (2001) [1994], "Группа Бианки" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Маклахлан, Колин; Рид, Алан В. (2003). Арифметика трехмерных гиперболических многообразий . Тексты для выпускников по математике . 219 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-98386-4. Zbl  1025.57001 .

Внешние ссылки [ править ]

• Аллен Хэтчер, Орбифолд Бианки