Двухуровневая оптимизация

Двухуровневая оптимизация — это особый вид оптимизации , при котором одна проблема встроена (вложена) в другую. Задачу внешней оптимизации обычно называют задачей оптимизации верхнего уровня, а задачу внутренней оптимизации обычно называют задачей оптимизации нижнего уровня. Эти проблемы включают в себя два типа переменных, называемых переменными верхнего уровня и переменными нижнего уровня. ^[1]

${\ Displaystyle \ мин \ пределы _ {х \ в X, у \ в Y} \; \; F (х, у)}$

при условии: , для ${\ Displaystyle G_ {я} (х, у) \ leq 0}$ ${\ Displaystyle я \ в \ {1,2, \ ldots, я \}}$

${\ displaystyle y \ in \ arg \ min \ limit _ {z \ in Y} \ {f (x, z): g_ {j} (x, z) \ leq 0, j \ in \ {1,2, \ldots,J\}\}}$

В приведенной выше формулировке представляет целевую функцию верхнего уровня и представляет целевую функцию нижнего уровня. Точно так же представляет вектор решения верхнего уровня и представляет вектор решения нижнего уровня. и представляют функции ограничения неравенства на верхнем и нижнем уровнях соответственно. Если какую-то целевую функцию нужно максимизировать, это эквивалентно минимизации ее отрицательной. Приведенная выше формулировка также может представлять ограничения равенства, поскольку их можно легко переписать в терминах ограничений неравенства: например, их можно перевести как ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle е}$ ${\ Displaystyle х}$ ${\ Displaystyle у}$ ${\ Displaystyle G_ {я}}$ ${\ displaystyle g_ {j}}$ ${\ Displaystyle ч (х) = 0}$ $\{h(x)\leq 0,\ -h(x)\leq 0\}$ . Однако обычно стоит рассматривать ограничения равенства отдельно, чтобы более эффективно справляться с ними специальным образом; в приведенном выше представлении они для краткости опущены.