Управляемость в системах LTIСистемы с линейным инвариантом во времени (LTI) - это такие системы, в которых параметры , , а также инвариантны относительно времени.
Можно понять, является ли система LTI управляемой или нет, просто взглянув на пару . Тогда мы можем сказать, что следующие утверждения эквивалентны:
1. Пара управляем.
2. В матрица
неособен для любого .
3. В матрица управляемости
имеет ранг n.
4. Группа матрица
имеет полный ранг строки при каждом собственном значении из .
Если, кроме того, все собственные значения иметь отрицательные реальные части (устойчиво), а единственное решение уравнения Ляпунова
положительно определена, система управляема. Решение называется грамианом управляемости и может быть выражено как
В следующем разделе мы более подробно рассмотрим грамиан управляемости.
Грамиан управляемостиГрамиан управляемости может быть найден как решение уравнения Ляпунова, задаваемое формулой
Фактически, мы можем видеть, что если мы возьмем
в качестве решения мы обнаружим, что:
Где мы использовали тот факт, что в для стабильного (все его собственные значения имеют отрицательную действительную часть). Это показывает нам, что действительно является решением анализируемого уравнения Ляпунова.
Характеристики
Мы видим, что является симметричной матрицей, поэтому .
Мы можем снова использовать тот факт, что если устойчиво (все его собственные значения имеют отрицательную действительную часть), чтобы показать, что уникален. Чтобы доказать это, предположим, что у нас есть два разных решения для
и они даны а также . Тогда у нас есть:
Умножение на слева и по по праву, приведет нас к
Интеграция из к :
используя тот факт, что в виде :
Другими словами, должно быть уникальным.
Также мы видим, что
положительна при любом t (в случае невырожденного случая, когда не равно нулю тождественно). Это делает положительно определенная матрица.
Дополнительные свойства управляемых систем можно найти в [1], а также в доказательстве других эквивалентных утверждений «Пара управляема », представленная в разделе« Управляемость в системах LTI ».
Системы с дискретным временемДля систем с дискретным временем как
Можно проверить, что для утверждения «Пара управляема »(эквивалентности очень похожи для случая непрерывного времени).
Нас интересует эквивалентность, утверждающая, что если «пара управляемо »и все собственные значения иметь величину меньше, чем ( устойчиво), то единственное решение
положительно определен и дается формулой
Это называется грамианом дискретной управляемости. Мы легко можем увидеть соответствие между дискретным временем и случаем непрерывного времени, то есть, если мы можем проверить, что положительно определена, и все собственные значения иметь величину меньше, чем , система управляем. Дополнительные свойства и доказательства можно найти в [2]
Линейные системы с изменением во времениСистемы линейного временного варианта (LTV) имеют вид:
То есть матрицы , а также есть записи, которые меняются со временем. Опять же, а также в случае непрерывного времени и в случае дискретного времени, может быть интересно обнаружить, если система, заданная паройуправляемый или нет. Это можно сделать так же, как и в предыдущих случаях.
Система контролируется во времени тогда и только тогда, когда существует конечное так что матрица, также называемая грамианом управляемости, заданная формулой
где матрица перехода состояний , неособое.
Опять же, у нас есть аналогичный метод, чтобы определить, является ли система управляемой или нет.
Свойства
У нас есть грамиан управляемости обладают следующим свойством:
что легко увидеть по определению и свойством матрицы перехода состояний, которое утверждает, что:
Подробнее о грамиане управляемости можно найти в [3]
Смотрите такжеРекомендацииВнешние ссылки