Эмпирическая характеристическая функция

Позвольте быть независимыми, одинаково распределенными вещественными случайными величинами с общей характеристической функцией . Эмпирическая характеристическая функция (ECF), определяемая как ${\ displaystyle (X_ {1}, ..., X_ {n})}$ ${\ Displaystyle \ varphi (т)}$

${\ displaystyle \ varphi _ {n} (t) = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {j = 1} ^ {n} e ^ {{\ rm {i}} tX_ {j}} , \ {\ rm {i}} = {\ sqrt {-1}},}$

представляет собой несмещенную и непротиворечивую оценку соответствующей характеристической функции совокупности для каждого . ECF, по-видимому, дебютировал на странице 342 классического учебника Крамера (1946), ^[1], а затем как часть вспомогательных инструментов для оценки плотности у Парзена (1962). ^[2] Почти десять лет спустя ECF предлагается в качестве основного объекта исследования в двух отдельных линий применения: в печати (1972) ^[3] для оценки параметров и в Heathcote (1972) ^[4] для благости-о-приступе${\ Displaystyle \ varphi (т)}$${\ Displaystyle т \ в \ mathbb {R}}$тестирование. С того времени последовало широкое распространение методов статистического вывода, основанных на ECF. Для обзоров методов оценки, основанных на ECF, читатель отсылается к Csörg (1984a), ^[5] Rémillard and Theodorescu (2001), ^[6] Yu (2004), ^[7] и Carrasco and Kotchoni (2017), ^{[8 ], в} то время как процедуры тестирования рассмотрены Csörg (1984b), ^[9] Hušková и Meintanis (2008a), ^[10] Hušková и Meintanis (2008b), ^[11] и Meintanis (2016). ^[12] Ушаков (1999) ^[13]также является хорошим источником информации о предельных свойствах процесса ECF, а также об оценке и проверке соответствия с помощью ECF. Одно из направлений исследований, заслуживающих особого упоминания, - это тестирование ECF на независимость с помощью дистанционной корреляции, как первоначально было предложено Székely et al. (2007). ^[14] Этот подход стал чрезвычайно популярным и в настоящее время активно развивается. Мы ссылаемся на Edelmann et al. (2019) ^[15] для недавнего обзора методов дистанционной корреляции.

Ссылки [ править ]