Волоконно-гомотопическая эквивалентность

В алгебраической топологии , А волоконно-гомотопическая эквивалентность является отображением над пространством B , который имеет гомотопические обратный над B (который мы требуем гомотопии быть картой над B для каждого временного т .) Это относительный аналог гомотопической эквивалентности между пробелы.

Для заданных отображений p : D → B , q : E → B , если ƒ: D → E - послойная гомотопическая эквивалентность, то для любого b из B ограничение

{\ displaystyle f: p ^ {- 1} (b) \ to q ^ {- 1} (b)}

является гомотопической эквивалентностью. Если p , q - расслоения, это всегда так для гомотопических эквивалентностей согласно следующему предложению.

Предложение - Позвольте быть расслоения . Тогда отображение над B является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда оно является послойной гомотопической эквивалентностью. ${\ displaystyle p: D \ to B, q: E \ to B}$ ${\ displaystyle f: D \ to E}$

Доказательство предложения [ править ]

Следующее доказательство основано на доказательстве предложения в гл. 6, § 5 ( май ) . Мы пишем для гомотопности над B . ${\ displaystyle \ sim _ {B}}$

Прежде всего заметим , что достаточно , чтобы показать , что ƒ допускает левый гомотопический обратный над B . В самом деле, если с g над B , то g , в частности, гомотопическая эквивалентность. Таким образом, g также допускает левую гомотопию, обратную h над B, и тогда формально мы имеем ; то есть . ${\ displaystyle gf \ sim _ {B} \ operatorname {id}}$ ${\ displaystyle h \ sim f}$ ${\ displaystyle fg \ sim _ {B} \ operatorname {id}}$

Теперь, поскольку - гомотопическая эквивалентность, она имеет гомотопический обратный g . Так , мы имеем: . Поскольку p - расслоение, гомотопия поднимается до гомотопии от g , скажем, до g ', которая удовлетворяет . Таким образом, мы можем предположить , г находится над B . Тогда достаточно показать, что g , которая теперь находится над B , имеет левую гомотопию, обратную над B, поскольку это означало бы, что имеет такой левый обратный. ${\ displaystyle fg \ sim \ operatorname {id}}$ ${\ displaystyle pg = qfg \ sim q}$ ${\ displaystyle pg \ sim q}$ ${\ displaystyle pg '= q}$

Таким образом, доказательство сводится к ситуации, когда ƒ: D → D находится над B через p и . Позвольте быть гомотопией от до . Тогда, поскольку и поскольку p - расслоение, гомотопия поднимается до гомотопии ; явно мы имеем . Отметим также находится над B . ${\ displaystyle f \ sim \ operatorname {id} _ {D}}$ ${\ displaystyle h_ {t}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {D}}$ ${\ displaystyle ph_ {0} = p}$ ${\ displaystyle ph_ {t}}$ $k_{t}:\operatorname {id} _{D}\sim k_{1}$ $ph_{t}=pk_{t}$ $k_{1}$

Показано , является левым Гомотопическим обратным ƒ над B . Позвольте быть гомотопия дана как композиция гомотопий . Тогда мы можем найти гомотопию K из гомотопии pJ в постоянную гомотопию . Так как р является расслоением, мы можем поднять K , скажем, L . Мы можем закончить, обойдя край, соответствующий J : $k_{1}$ $J:k_{1}f\sim h_{1}=\operatorname {id} _{D}$ $k_{1}f\sim f=h_{0}\sim \operatorname {id} _{D}$ $pk_{1}=ph_{1}$

k_{1}f=J_{0}=L_{0,0}\sim _{B}L_{0,1}\sim _{B}L_{1,1}\sim _{B}L_{1,0}=J_{1}=\operatorname {id} .

Ссылки [ править ]

Мэй, Дж. П. Краткий курс алгебраической топологии , (1999) Чикагские лекции по математике ISBN 0-226-51183-9 (См. Главу 6.)