Список формул индекса цен

Было предложено более сотни различных формул для расчета индексов цен . Хотя все формулы индекса цен используют данные о ценах и, возможно, о количестве, они агрегируют их по-разному. Индекс цен объединяет различные комбинации цен базового периода ( ), цен более позднего периода ( ), количеств базового периода ( ) и количеств более позднего периода ( ). Числа индекса цен обычно определяются как (фактические или гипотетические) расходы (расходы = цена * количество), либо как различные средневзвешенные значения родственников цен (${\ displaystyle p_ {0}}$${\ displaystyle p_ {t}}$${\ displaystyle q_ {0}}$${\ displaystyle q_ {t}}$${\ displaystyle p_ {t} / p_ {0}}$). Они говорят об относительном изменении рассматриваемой цены. Две из наиболее часто используемых формул индекса цен были определены немецкими экономистами и статистиками Этьеном Ласпейресом и Германом Пааше примерно в 1875 году при исследовании изменений цен в Германии.

Ласпейрес [ править ]

Разработанная в 1871 году Этьеном Ласпейресом формула:

${\ displaystyle P_ {L} = {\ frac {\ sum \ left (p_ {t} \ cdot q_ {0} \ right)} {\ sum \ left (p_ {0} \ cdot q_ {0} \ right) }}}$

сравнивает общую стоимость одной и той же корзины готовых товаров по старой и новой ценам.${\ displaystyle q_ {0}}$

Пааше [ править ]

Разработанный в 1874 году ^[1] по Пааше , по формуле:

${\ displaystyle P_ {P} = {\ frac {\ sum \ left (p_ {t} \ cdot q_ {t} \ right)} {\ sum \ left (p_ {0} \ cdot q_ {t} \ right) }}}$

сравнивает общую стоимость новой корзины товаров по старой и новой ценам.${\ displaystyle q_ {t}}$

Геометрические средства [ править ]

Индекс среднего геометрического:

${\ Displaystyle P_ {GM} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {p_ {i, t}} {p_ {i, 0}}} \ right) ^ {\ frac {p_ {i, 0} \ cdot q_ {i, 0}} {\ sum \ left (p_ {0} \ cdot q_ {0} \ right)}}}$

включает количественную информацию через долю расходов в базовом периоде.

Невзвешенные индексы [ править ]

Невзвешенные, или «элементарные», индексы цен сравнивают цены только на один вид товаров за два периода. В них не используются никакие количества или веса расходов. Их называют «элементарными», потому что они часто используются на более низких уровнях агрегирования для более полных индексов цен. ^[2] В таком случае они не являются индексами, а просто промежуточным этапом в вычислении индекса. На этих более низких уровнях утверждается, что взвешивание не требуется, поскольку агрегируется только один тип товаров. Однако это неявно предполагает, что доступен только один тип товара (например, только одна марка и один размер упаковки замороженного гороха) и что он не изменился по качеству и т. Д. Между периодами времени.

Карли [ править ]

Эта формула, разработанная в 1764 году итальянским экономистом Джан Ринальдо Карли , представляет собой среднее арифметическое относительное значение цен между периодом t и базисным периодом 0 . ^{[ Формула не проясняет, что производится суммирование. ]}

${\ displaystyle P_ {C} = {\ frac {1} {n}} \ cdot \ sum {\ frac {p_ {t}} {p_ {0}}}}$

17 августа 2012 года BBC Radio 4 программы более или менее ^[3] отмечено , что индекс Карли, частично используется в британском индексе розничных цен , имеет встроенный в предвзятости по отношению к записи инфляции , даже если в течение последовательных периодов не существует никакого увеличения цены в целом. ^{[ требуется разъяснение ] [ Объясните, почему ]}

Дюто [ править ]

В 1738 году французский экономист Николя Дюто ^[4] предложил использовать индекс, рассчитанный путем деления средней цены в период t на среднюю цену в период 0 .

${\displaystyle P_{D}={\frac {{\frac {1}{n}}\cdot \sum p_{t}}{{\frac {1}{n}}\cdot \sum p_{0}}}={\frac {\sum p_{t}}{\sum p_{0}}}}$

Джевонс [ править ]

В 1863 году английский экономист Уильям Стэнли Джевонс предложил взять среднее геометрическое относительной цены периода t и базисного периода 0 . ^[5] При использовании в качестве элементарного агрегата индекс Джевонса считается постоянной эластичностью индекса замещения, поскольку он позволяет заменять продукты между периодами времени. ^[6]

${\displaystyle P_{J}=\left(\prod {\frac {p_{t}}{p_{0}}}\right)^{1/n}}$

Это формула, которая использовалась для старого индекса фондового рынка Financial Times (предшественника индекса FTSE 100 ). Для этой цели этого было недостаточно. В частности, если цена любого из составляющих упадет до нуля, весь индекс упадет до нуля. Это крайний случай; в общем, формула будет занижать общую стоимость корзины товаров (или любого подмножества этой корзины), если все их цены не изменяются с одинаковой скоростью. Кроме того, поскольку индекс невзвешен, большие изменения цен в выбранных составляющих могут передаваться в индекс до степени, не отражающей их важность в среднем портфеле.

Гармоническое среднее родственников цен [ править ]

Гармонический средний аналог индекса Карли. ^[7] Индекс был предложен Джевонсом в 1865 г. и Коггесхоллом в 1887 г. ^[8]

${\displaystyle P_{HR}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\cdot \sum {\frac {p_{0}}{p_{t}}}}}}$

Каррутерс, Селлвуд, Уорд, индекс Далена [ править ]

Среднее геометрическое индексов Карли и гармонических индексов цен. ^[9] В 1922 году Фишер написал, что этот индекс и индекс Джевона были двумя лучшими невзвешенными индексами, основанными на подходе Фишера к теории чисел индексов. ^[10]

${\displaystyle P_{CSWD}={\sqrt {P_{C}\cdot P_{HR}}}}$

Соотношение гармонических средних [ править ]

Соотношение гармонических средних или «гармонических средних» ценового индекса является гармоническим средним эквивалентом индекса Дюто. ^[7]

${\displaystyle P_{RH}={\frac {\sum {\frac {n}{p_{0}}}}{\sum {\frac {n}{p_{t}}}}}}$

Двусторонние формулы [ править ]

Маршалл-Эджворт [ править ]

Индекс Маршалла-Эджворта, рассчитанный Маршаллом (1887 г.) и Эджвортом (1925 г.) ^[11], является взвешенным соотношением цен текущего периода и базисного периода. Этот индекс использует для взвешивания среднее арифметическое значений текущего и базового периода. Он считается псевдопревосходной формулой и является симметричным. ^[12] Использование индекса Маршалла-Эджворта может быть проблематичным в таких случаях, как сравнение уровня цен в большой стране с небольшой. В таких случаях набор количеств большой страны будет преобладать над количествами маленькой. ^[13]

${\displaystyle P_{ME}={\frac {\sum \left[p_{t}\cdot {\frac {1}{2}}\left(q_{0}+q_{t}\right)\right]}{\sum \left[p_{0}\cdot {\frac {1}{2}}(q_{0}+q_{t})\right]}}={\frac {\sum \left[p_{t}\cdot \left(q_{0}+q_{t}\right)\right]}{\sum \left[p_{0}\cdot \left(q_{0}+q_{t}\right)\right]}}}$

Индексы в превосходной степени [ править ]

Индексы превосходной степени относятся к ценам и количеству одинаково по периодам. Они симметричны и обеспечивают близкую аппроксимацию индексов стоимости жизни и других теоретических индексов, используемых в качестве руководящих принципов для построения индексов цен. Все превосходные индексы дают аналогичные результаты и, как правило, являются предпочтительными формулами для расчета индексов цен. ^[14] Превосходный индекс технически определяется как «индекс, который является точным для гибкой функциональной формы, которая может обеспечить приближение второго порядка к другим дважды дифференцируемым функциям вокруг той же точки». ^[15]

Фишер [ править ]

Изменение индекса Фишера от одного периода к другому является средним геометрическим изменением индексов Ласпейреса и Пааше между этими периодами, и они связаны друг с другом для сравнения за многие периоды:

${\displaystyle P_{F}={\sqrt {P_{L}\cdot P_{P}}}}$

Это также называется «идеальным» индексом цен Фишера.

Торнквист [ править ]

Индекс Торнквиста или Торнквиста-Тейла представляет собой среднее геометрическое из n ценовых родственников цен текущего и базового периода (для n товаров), взвешенное как среднее арифметическое стоимостных долей за два периода. ^{[16] [17]}

${\displaystyle P_{T}=\prod _{i=1}^{n}\left({\frac {p_{i,t}}{p_{i,0}}}\right)^{{\frac {1}{2}}\left[{\frac {p_{i,0}\cdot q_{i,0}}{\sum \left(p_{0}\cdot q_{0}\right)}}+{\frac {p_{i,t}\cdot q_{i,t}}{\sum \left(p_{t}\cdot q_{t}\right)}}\right]}}$

Уолш [ править ]

Индекс цен Уолша представляет собой взвешенную сумму цен текущего периода, деленную на взвешенную сумму цен базового периода, при этом геометрическое среднее значений обоих периодов служит механизмом взвешивания:

${\displaystyle P_{W}={\frac {\sum \left(p_{t}\cdot {\sqrt {q_{0}\cdot q_{t}}}\right)}{\sum \left(p_{0}\cdot {\sqrt {q_{0}\cdot q_{t}}}\right)}}}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Руководство по индексам экспортных и импортных цен
• Руководство по PPI