В математике главное однородное пространство [ 1] или торсор для группы G — это однородное пространство X для G , в котором стабилизирующая подгруппа каждой точки тривиальна. Эквивалентно, главное однородное пространство для группы G — это непустое множество X , на котором G действует свободно и транзитивно (это означает, что для любых x , y в X существует единственный g в Gтакое, что x · g = y , где · обозначает (правое) действие группы G на X ). Аналогичное определение имеет место и в других категориях , где, например,
Если G неабелева , то нужно различать левые и правые торсоры в зависимости от того, находится ли действие слева или справа. В этой статье мы будем использовать правильные действия.
Чтобы сформулировать определение более явно, X является G -торсором или G -главным однородным пространством, если X непусто и оснащено отображением (в соответствующей категории) X × G → X таким, что
является изоморфизмом (множеств, или топологических пространств, или ..., в зависимости от обстоятельств, т. е. в рассматриваемой категории).
Заметим, что это означает, что X и G изоморфны (в рассматриваемой категории, а не как группы: см. ниже). Однако — и это главное — в X нет предпочтительной «тождественной» точки . То есть X выглядит точно так же, как G , за исключением того, что идентичность была забыта. (Это понятие часто используется в математике как способ перехода к более внутренней точке зрения под заголовком «отбросить начало».)
Поскольку X не является группой, мы не можем умножать элементы; однако мы можем взять их «частное». То есть существует отображение X × X → G , которое переводит ( x , y ) в единственный элемент g = x \ y ∈ G , такой что y = x · g .