В теории массового обслуживания , дисциплине в рамках математической теории вероятностей , теорема Гордона – Ньюэлла является расширением теоремы Джексона от открытых сетей массового обслуживания до закрытых сетей массового обслуживания экспоненциальных серверов, в которых клиенты не могут покинуть сеть. [1] Теорема Джексона не может быть применена к закрытым сетям, потому что длина очереди в узле в закрытой сети ограничена населением сети. Теорема Гордона – Ньюэлла вычисляет решение открытой сети, а затем устраняет недопустимые состояния путем перенормировки вероятностей. Вычисление нормализующей константы делает обработку более неудобной, поскольку необходимо перечислить все пространство состояний.Алгоритм Бузена или анализ среднего значения можно использовать для более эффективного вычисления нормирующей константы. [2]
Определение сети Гордона – Ньюэлла
Сеть из m взаимосвязанных очередей называется сетью Гордона – Ньюэлла [3] или закрытой сетью Джексона [4], если она удовлетворяет следующим условиям:
- сеть закрыта (клиенты не могут входить в сеть и выходить из нее),
- все времена обслуживания распределены экспоненциально, а дисциплина обслуживания во всех очередях - FCFS ,
- заказчик, завершающий обслуживание в очереди i , с вероятностью перейдет в очередь j, с такой, что ,
- использование всех очередей меньше единицы.
Теорема
В замкнутой сети Гордона – Ньюэлла из m очередей с общей популяцией K человек запишите(где k i - длина очереди i ) для состояния сети и S ( K , m ) для пространства состояний
Тогда существует распределение вероятностей равновесного состояния, которое задается выражением
где время обслуживания в очереди i экспоненциально распределено с параметром μ i . Нормирующая постоянная G ( K ) определяется выражением
и е я это отношение визита, рассчитывается путем решения системы уравнений
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Гордон, WJ; Ньюэлл, Г. Ф. (1967). «Замкнутые системы массового обслуживания с экспоненциальными серверами». Исследование операций . 15 (2): 254. DOI : 10,1287 / opre.15.2.254 . JSTOR 168557 .
- ^ Бузен, JP (1973). «Вычислительные алгоритмы для замкнутых сетей массового обслуживания с экспоненциальными серверами» (PDF) . Коммуникации ACM . 16 (9): 527. DOI : 10,1145 / 362342,362345 .
- ^ Дадуна, Х. (1982). «Время прохождения путей без обгона в сетях Гордона-Ньюэлла». Достижения в прикладной теории вероятностей . 14 (3): 672–686. DOI : 10.2307 / 1426680 .
- ^ Gong, Q .; Lai, KK; Ван, С. (2008). «Сети цепочки поставок: модели и свойства закрытых сетей Джексона». Международный журнал экономики производства . 113 (2): 567. DOI : 10.1016 / j.ijpe.2007.10.013 .