Точечный процесс

В статистике и теории вероятностей , точечный процесс или поле точки представляет собой набор математических точек случайным образом расположенных на некотором подстилающем математическом пространстве , такие как прямые, декартова плоскость, или более абстрактные пространства. Точечные процессы могут использоваться как математические модели явлений или объектов, представленных как точки в некотором типе пространства.

Существуют разные математические интерпретации точечного процесса, такие как случайный счетчик или случайный набор. ^{[1] [2]} Некоторые авторы рассматривают точечный процесс и случайный процесс как два разных объекта, так что точечный процесс - это случайный объект, возникающий из или связанный со случайным процессом, ^{[3] [4],} хотя это было отмечено что разница между точечными процессами и случайными процессами не ясна. ^[4] Другие рассматривают точечный процесс как случайный процесс, в котором процесс индексируется наборами основного пространства ^[a], на котором он определен, например реальной прямой или -мерного евклидова пространства. ^{[7] [8]}${\ displaystyle n}$ Другие случайные процессы, такие как процессы обновления и счета, изучаются в теории точечных процессов. ^{[9] [4]} Иногда термин «точечный процесс» не является предпочтительным, поскольку исторически слово «процесс» обозначало эволюцию некоторой системы во времени, поэтому точечный процесс также называется случайным точечным полем. ^[10]

Точечные процессы хорошо изучены объекты в теории вероятностей ^{[11] [12]} и предмет мощных инструментов статистики для моделирования и анализа пространственных данных , ^{[13] [14]} , которая представляет интерес в таких разнообразных областях , как лесное хозяйство, экология растений, эпидемиология, география, сейсмология, материаловедение, астрономия, телекоммуникации, вычислительная нейробиология ^[15], экономика ^[16] и другие.

Точечные процессы на реальной прямой образуют важный частный случай, который особенно удобен для изучения ^[17], потому что точки упорядочены естественным образом, и весь точечный процесс может быть полностью описан (случайными) интервалами между точками. Эти точечные процессы часто используются в качестве моделей случайных событий во времени, таких как прибытие заявок в очередь ( теория организации очередей ), импульсов в нейроне ( вычислительная нейробиология ), частиц в счетчике Гейгера , расположения радиостанций в телекоммуникационной сети ^[18] или поисков во всемирной паутине .

Общая теория точечных процессов [ править ]

В математике, точечный процесс является случайным элементом , значение которого являются «точечными узорами» на множество S . Хотя в точном математическом определении точечный образец задается как локально конечная счетная мера , для более прикладных целей достаточно думать о точечном образце как счетном подмножестве S , не имеющем предельных точек . ^{[ требуется разъяснение ]}

Определение [ править ]

Чтобы определить общие точечные процессы, мы начнем с вероятностного пространства и измеримого пространства, где - локально компактное второе счетное хаусдорфово пространство и является его борелевской σ-алгеброй . Рассмотрим теперь целочисленное локально конечное ядро из в , то есть такое отображение , что:${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$${\ displaystyle (S, {\ mathcal {S}})}$${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ Displaystyle \ xi}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle (S, {\ mathcal {S}})}$${\ Displaystyle \ Omega \ times {\ mathcal {S}} \ mapsto \ mathbb {Z} _ {+}}$

1. Для каждого , локально конечная мера на . ^{[ требуется разъяснение ]}${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$${\ Displaystyle \ хи (\ омега, \ cdot)}$${\ displaystyle S}$
2. Для каждого , является случайной величиной .${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {S}}}$${\displaystyle \xi (\cdot ,B):\Omega \mapsto \mathbb {Z} _{+}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$

Это ядро ​​определяет случайную меру следующим образом. Мы хотели бы думать об этом как об определении отображения, которое отображается в меру (а именно, ), где - множество всех локально конечных мер на . Теперь, чтобы сделать это отображение измеримым, нам нужно определить -поле над . Это -field строится как минимальная алгебра так , что все оценки карты вида , где является относительно компактным , измеримы. Оснащенная этой -поля, то случайный элемент, в котором для каждого , является локально конечной мерой над .${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \xi _{\omega }\in {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$${\displaystyle \Omega \mapsto {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \pi _{B}:\mu \mapsto \mu (B)}$${\displaystyle B\in {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \xi _{\omega }}$${\displaystyle S}$

Теперь под точечным процессом на мы просто подразумеваем целочисленную случайную меру (или, что то же самое, целочисленное ядро), построенную, как указано выше. Наиболее распространенным примером для пространства состояний S является евклидово пространство R ⁿ или его подмножество, где особенно интересный частный случай представлен действительной полупрямой [0, ∞). Однако точечные процессы не ограничиваются этими примерами и могут, среди прочего, также использоваться, если точки сами являются компактными подмножествами R ⁿ , и в этом случае ξ обычно называют процессом частиц .${\displaystyle S}$${\displaystyle \xi }$

Было отмечено ^{[ необходима цитата ],} что термин точечный процесс не очень хорош, если S не является подмножеством действительной прямой, так как это может предполагать, что ξ - случайный процесс . Однако этот термин хорошо известен и неоспорим даже в общем случае.

Представление [ править ]

Каждый экземпляр (или событие) точечного процесса ξ можно представить как

${\displaystyle \xi =\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i}},}$

где обозначает меру Дирака , п является случайной величиной целочисленной и являются случайными элементами S . Если «s являются почти наверняка различны (или что то же самое, почти наверняка для всех ), то процесс точка называется простым .${\displaystyle \delta }$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \xi (x)\leq 1}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$

Еще одно другое, но полезное представление события (событие в пространстве событий, то есть серия точек) - это нотация подсчета, где каждый экземпляр представлен как функция, непрерывная функция, которая принимает целые значения ::${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle N:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {Z} ^{+}}}$

${\displaystyle N(t_{1},t_{2})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\xi (t)dt}$

количество событий в интервале наблюдения . Иногда его обозначают и или означают .${\displaystyle (t_{1},t_{2}]}$${\displaystyle N_{t_{1},t_{2}}}$${\displaystyle N_{T}}$${\displaystyle N(T)}$${\displaystyle N_{0,T}}$

Мера ожидания [ править ]

Ожидания мера Eξ (также известная как средняя степень ) процесс точки | является мерой на S , сопоставляющего каждому борелевских подмножеств B из S ожидаемого числа точек £ , в B . То есть,

${\displaystyle E\xi (B):=E{\bigl (}\xi (B){\bigr )}\quad {\text{for every }}B\in {\mathcal {B}}.}$

Функционал Лапласа [ править ]

Функционал Лапласа точечного процесса N является отображением множества всех положительнозначных функций f в пространстве состояний N , определяемым следующим образом:${\displaystyle \Psi _{N}(f)}$${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle \Psi _{N}(f)=E[\exp(-N(f))]}$

Они играют ту же роль, что и характеристические функции для случайной величины . Одна важная теорема гласит: два точечных процесса имеют одинаковый закон, если их функционалы Лапласа равны.

Момент измерения [ править ]

Степень -й степени точечного процесса определяется в пространстве продуктов следующим образом:${\displaystyle n}$${\displaystyle \xi ^{n},}$${\displaystyle S^{n}}$

${\displaystyle \xi ^{n}(A_{1}\times \cdots \times A_{n})=\prod _{i=1}^{n}\xi (A_{i})}$

По теореме о монотонном классе это однозначно определяет меру произведения на математическом ожидании, которое называется мерой- м моментом . Мера первого момента - это средняя мера.${\displaystyle (S^{n},B(S^{n})).}$${\displaystyle E\xi ^{n}(\cdot )}$${\displaystyle n}$

Пусть . В совместных интенсивности процесса точечной WRT по мере Лебега являются функциями такие , что для любых непересекающихся ограниченных борелевских подмножеств${\displaystyle S=\mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \rho ^{(k)}:(\mathbb {R} ^{d})^{k}\to [0,\infty )}$${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}}$

${\displaystyle E\left(\prod _{i}\xi (B_{i})\right)=\int _{B_{1}\times \cdots \times B_{k}}\rho ^{(k)}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,dx_{1}\cdots dx_{k}.}$

Совместные интенсивности не всегда существуют для точечных процессов. Учитывая , что моменты из более случайной величины определить случайную величину , во многих случаях, аналогичный результат можно ожидать совместные интенсивностей. Действительно, это было показано во многих случаях. ^[12]

Стационарность [ править ]

Точечный процесс называется стационарным, если он имеет то же распределение, что и все. Для стационарного точечного процесса среднее значение некоторой константы, а где - мера Лебега. Это называется интенсивностью точечного процесса. Стационарный точечный процесс на почти наверняка имеет либо 0, либо бесконечное количество точек. Дополнительные сведения о стационарных точечных процессах и случайной мере см. В главе 12 книги Daley & Vere-Jones. ^[12] Стационарность была определена и изучена для точечных процессов в более общих пространствах, чем .${\displaystyle \xi \subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \xi +x:=\sum _{i=1}^{N}\delta _{X_{i}+x}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}.}$${\displaystyle E\xi (\cdot )=\lambda \|\cdot \|}$${\displaystyle \lambda \geq 0}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Примеры точечных процессов [ править ]

Мы увидим несколько примеров точечных процессов в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$

Точечный процесс Пуассона [ править ]

Самым простым и наиболее распространенным примером точечного процесса является точечный процесс Пуассона , который является пространственным обобщением процесса Пуассона . Пуассоновский (подсчетный) процесс на прямой может характеризоваться двумя свойствами: количество точек (или событий) в непересекающихся интервалах независимы и имеют распределение Пуассона . Точечный процесс Пуассона также можно определить с помощью этих двух свойств. А именно, мы говорим, что точечный процесс является точечным процессом Пуассона, если выполняются следующие два условия${\displaystyle \xi }$

1) независимы для непересекающихся подмножеств${\displaystyle \xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})}$${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}.}$

2) Для любого ограниченного подмножества , имеет распределение Пуассона с параметром , где обозначающую мера Лебега .${\displaystyle B}$${\displaystyle \xi (B)}$${\displaystyle \lambda \|B\|,}$${\displaystyle \|\cdot \|}$

Эти два условия можно объединить вместе и записать следующим образом: для любых непересекающихся ограниченных подмножеств и неотрицательных целых чисел имеем${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$

${\displaystyle \Pr[\xi (B_{i})=k_{i},1\leq i\leq n]=\prod _{i}e^{-\lambda \|B_{i}\|}{\frac {(\lambda \|B_{i}\|)^{k_{i}}}{k_{i}!}}.}$

Постоянная называется интенсивностью точечного процесса Пуассона. Обратите внимание, что точечный процесс Пуассона характеризуется одним параметром. Это простой стационарный точечный процесс. Чтобы быть более конкретным, можно назвать вышеупомянутый точечный процесс однородным точечным процессом Пуассона. Неоднородный пуассоновский процесс определен как указаны выше , но заменяя с , где является неотрицательной функцией на${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda .}$${\displaystyle \lambda \|B\|}$${\displaystyle {\stackrel {}{}}\int _{B}\lambda (x)\,dx}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$

Процесс точки Кокса [ править ]

Кокс процесс (названный в честь сэра Дэвида Кокса ) является обобщением точечного процесса Пуассона, в том , что мы используем случайные меры на месте . Более формально, пусть будет случайной мерой . Точечный процесс Кокса, управляемый случайной мерой, - это точечный процесс со следующими двумя свойствами:${\displaystyle \lambda \|B\|}$${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \xi }$

1. Дано , является ли Пуассон распределенным с параметром для любого ограниченного подмножества${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$${\displaystyle \xi (B)}$${\displaystyle \Lambda (B)}$${\displaystyle B.}$
2. Для любого конечного набора непересекающихся подмножеств и при условии , что у нас есть независимые.${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$${\displaystyle \Lambda (B_{1}),\ldots ,\Lambda (B_{n}),}$${\displaystyle \xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})}$

Легко видеть, что точечные процессы Пуассона (однородные и неоднородные) следуют как частные случаи точечных процессов Кокса. Средняя мера точечного процесса Кокса равна, и поэтому в частном случае точечного процесса Пуассона она равна${\displaystyle E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot )}$${\displaystyle \lambda \|\cdot \|.}$

Для точечного процесса Кокса это называется мерой интенсивности . Далее, если имеет (случайную) плотность (производную Радона – Никодима ), т. Е.${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$${\displaystyle \lambda (\cdot )}$

${\displaystyle \Lambda (B){\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\int _{B}\lambda (x)\,dx,}$

тогда называется полем напряженности точечного процесса Кокса. Стационарность мер интенсивности или полей интенсивности подразумевает стационарность соответствующих точечных процессов Кокса.${\displaystyle \lambda (\cdot )}$

Было много конкретных классов точечных процессов Кокса, которые были подробно изучены, например:

• Логгауссовские точечные процессы Кокса: ^[19] для гауссовского случайного поля.${\displaystyle \lambda (y)=\exp(X(y))}$ ${\displaystyle X(.)}$
• Дробовой шум Точечные процессы Кокса :, ^[20] для точечного процесса Пуассона и ядра${\displaystyle \lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)}$${\displaystyle \Phi (\cdot )}$${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• Обобщенный дробовой шум точечные процессы Кокса: ^[21] для точечного процесса и ядра${\displaystyle \lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)}$${\displaystyle \Phi (\cdot )}$${\displaystyle h(.,.)}$
• Точечные процессы Кокса на основе Леви: ^[22] для базиса и ядра Леви , и${\displaystyle \lambda (y)=\int h(x,y)L(dx)}$${\displaystyle L(\cdot )}$${\displaystyle h(.,.)}$
• Точечные процессы Permanental Кокса: ^[23] для к независимым гауссовским случайным полей s»${\displaystyle \lambda (y)=X_{1}^{2}(y)+\cdots +X_{k}^{2}(y)}$${\displaystyle X_{i}(\cdot )}$
• Сигмоидальные гауссовские точечные процессы Кокса: ^[24] для гауссовского случайного поля и случайного${\displaystyle \lambda (y)=\lambda ^{\star }/(1+\exp(-X(y)))}$${\displaystyle X(\cdot )}$${\displaystyle \lambda ^{\star }>0}$

По неравенству Йенсено, можно проверить , что точечные процессы Кокса удовлетворять следующее неравенство: для всех ограниченных борелевских подмножеств ,${\displaystyle B}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (\xi (B))\geq \operatorname {Var} (\xi _{\alpha }(B)),}$

где означает точечный процесс Пуассона с мерой интенсивности. Таким образом, точки распределяются с большей изменчивостью в точечном процессе Кокса по сравнению с точечным процессом Пуассона. Иногда это называют кластеризацией или привлекательным свойством точечного процесса Кокса.${\displaystyle \xi _{\alpha }}$${\displaystyle \alpha (\cdot ):=E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot ).}$

Детерминантные точечные процессы [ править ]

Важным классом точечных процессов с приложениями к физике , теории случайных матриц и комбинаторике являются детерминантные точечные процессы . ^[25]

Процессы Хокса (самовозбуждение) [ править ]

Процесс Хокса , также известный как самовозбуждающийся процесс счета, представляет собой простой точечный процесс, условную интенсивность которого можно выразить как${\displaystyle N_{t}}$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\lambda (t)&=\mu (t)+\int _{-\infty }^{t}\nu (t-s)dN_{s}\\&=\mu (t)+\sum _{T_{k}<t}\nu (t-T_{k})\end{array}}}$

где - функция ядра, которая выражает положительное влияние прошлых событий на текущее значение процесса интенсивности , - возможно, нестационарная функция, представляющая ожидаемую, предсказуемую или детерминированную часть интенсивности, и - время возникновения i-е событие процесса. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle \nu :\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle \lambda (t)}$${\displaystyle \mu (t)}$${\displaystyle \{T_{i}:T_{i}<T_{i+1}\}\in \mathbb {R} }$

Геометрические процессы [ править ]

Дана последовательность неотрицательных случайных величин:, если они независимы и cdf для задается для , где - положительная константа, то называется геометрическим процессом (GP). ^[26]${\displaystyle \{X_{k},k=1,2,\dots \}}$${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle F(a^{k-1}x)}$${\displaystyle k=1,2,\dots }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \{X_{k},k=1,2,\ldots \}}$

Геометрический процесс имеет несколько расширений, включая процесс α-серий ^[27] и двугеометрический процесс . ^[28]

Точечные процессы на реальной полуоси [ править ]

Исторически первые точечные процессы, которые изучались, имели действительную полупрямую R ₊ = [0, ∞) в качестве пространства состояний, которое в этом контексте обычно интерпретируется как время. Эти исследования были мотивированы желанием смоделировать телекоммуникационные системы ^[29], в которых точки представляли события во времени, такие как звонки на телефонную станцию.

Точечные процессы на R ₊ обычно описываются последовательностью их (случайных) времен между событиями ( T ₁ ,  T ₂ , ...), из которой фактическая последовательность ( X ₁ ,  X ₂ , ...) время событий можно получить как

${\displaystyle X_{k}=\sum _{j=1}^{k}T_{j}\quad {\text{for }}k\geq 1.}$

Если времена между событиями независимы и одинаково распределены, полученный точечный процесс называется процессом обновления .

Интенсивность точечного процесса [ править ]

Интенсивность λ ( т  |  Н _т ) процесса точки на вещественной полуоси по отношению к фильтрации Н _т определяется как

${\displaystyle \lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr({\text{One event occurs in the time-interval}}\,[t,t+\Delta t]\mid H_{t}),}$

H _t может обозначать историю моментов событийных точек, предшествующих времени t, но также может соответствовать другим фильтрам (например, в случае процесса Кокса).

В -notation, это можно записать в более компактной форме: .${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle \lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr(N(t+\Delta t)-N(t)=1\mid H_{t})}$

Компенсатор процесса точки, также известный как двойная предсказуемая проекция , является интегральной функция условной интенсивности определяется

${\displaystyle \Lambda ^{}(s_{},u)=\int _{s}^{u}\lambda ^{}(t|H_{t})\mathrm {d} t}$

Связанные функции [ править ]

Функция интенсивности Папангелу [ править ]

Функция интенсивности Папангелу точечного процесса в -мерном евклидовом пространстве определяется как${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \lambda _{p}(x)=\lim _{\delta \to 0}{\frac {1}{|B_{\delta }(x)|}}{P}\{{\text{One event occurs in }}\,B_{\delta }(x)\mid \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]\},}$

где - шар с центром в радиусе , и обозначает информацию о точечном процессе снаружи .${\displaystyle B_{\delta }(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]}$${\displaystyle N}$${\displaystyle B_{\delta }(x)}$

Функция правдоподобия [ править ]

Логарифмическая вероятность параметризованного простого точечного процесса, обусловленного некоторыми наблюдаемыми данными, записывается как

${\displaystyle \ln {\mathcal {L}}(N(t)_{t\in [0,T]})=\int _{0}^{T}(1-\lambda (s))ds+\int _{0}^{T}\ln \lambda (s)dN_{s}}$^[30]

Точечные процессы в пространственной статистике [ править ]

Анализ данных точки шаблона в компактном подмножестве S из R ^п является основным объектом исследования в рамках пространственной статистики . Такие данные появляются в широком спектре дисциплин ^[31], среди которых

• лесное хозяйство и экология растений (положение деревьев или растений в целом)
• эпидемиология (места проживания инфицированных пациентов)
• зоология (норы или гнезда животных)
• география (расположение населенных пунктов, поселков или городов)
• сейсмология (эпицентры землетрясений)
• материаловедение (позиции дефектов промышленных материалов)
• астрономия (расположение звезд или галактик)
• вычислительная нейробиология (спайки нейронов).

Необходимость использования точечных процессов для моделирования данных такого рода обусловлена ​​их внутренней пространственной структурой. Соответственно, первый интересующий вопрос часто заключается в том, демонстрируют ли данные данные полную пространственную случайность (т.е. являются ли реализацией пространственного пуассоновского процесса ) в противоположность проявлению либо пространственной агрегации, либо пространственного торможения.

Напротив, многие наборы данных, рассматриваемые в классической многомерной статистике, состоят из независимо сгенерированных точек данных, которые могут управляться одной или несколькими ковариатами (обычно непространственными).

Помимо приложений в пространственной статистике, точечные процессы являются одним из фундаментальных объектов стохастической геометрии . Исследования также были сосредоточены на различных моделях, построенных на точечных процессах, таких как мозаика Вороного, случайные геометрические графы, логическая модель и т. Д.

См. Также [ править ]

• Эмпирическая мера
• Случайная мера
• Обозначение точечного процесса
• Точечный процесс операции
• Пуассоновский процесс
• Теория обновления
• Инвариантная мера
• Оператор трансфера
• Оператор Купмана
• Оператор сдвига

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]