Супералгебра Ли
В математике супералгебра Ли — это обобщение алгебры Ли , включающее Z 2 - градуировку . Супералгебры Ли важны в теоретической физике , где они используются для описания математики суперсимметрии . В большинстве этих теорий четные элементы супералгебры соответствуют бозонам , а нечетные — фермионам (но это не всегда верно; например, БРСТ-суперсимметрия — наоборот).
Формально супералгебра Ли — это неассоциативная Z2- градуированная алгебра или супералгебра над коммутативным кольцом ( обычно R или C ), произведение [·, ·], называемое суперскобкой Ли или суперкоммутатором , удовлетворяет двум условиям (аналоги обычные аксиомы алгебры Ли с градацией):
где x , y , z чистые в Z 2 -градуировке. Здесь, | х | обозначает степень x (либо 0, либо 1). Степень [x,y] является суммой степеней x и y по модулю 2.
Иногда также добавляют аксиомы для | х | = 0 (если 2 обратимо, то это следует автоматически) и для | х | = 1 (если 3 обратимо, это следует автоматически). Когда основное кольцо представляет собой целые числа или супералгебра Ли является свободным модулем, эти условия эквивалентны условию справедливости теоремы Пуанкаре–Биркгофа–Витта (и, вообще говоря, они являются необходимыми условиями для выполнения теоремы).
![[х,х]=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ccb967db9ab0773c5aa2e0fc234cd33373f193)
![[[х,х],х]=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a767a046f86a360a4e9a3fcb8414cb59e0a0652)
Как и для алгебр Ли, универсальной обертывающей алгебре супералгебры Ли можно задать структуру алгебры Хопфа .
Градуированная алгебра Ли (скажем, градуированная Z или N ), которая является антикоммутативной и якобиевой в градуированном смысле, также имеет градуировку (которая называется «свертыванием» алгебры в нечетные и четные части), но не упоминается как « супер". См. примечание к градуированной алгебре Ли для обсуждения.
