Формально супералгеброй Ли является неассоциативная Z 2 - градуированная алгебра или супералгеброй , над коммутативным кольцом (обычно R или C ), продукт которой [·, ·], называется суперскобки Ли или суперкоммутатор , удовлетворяет двум условиям (аналоги обычные аксиомы алгебры Ли , с градуировкой):
где x , y и z чисты в Z 2 -градуировке. Здесь | х | обозначает степень x (0 или 1). Степень [x, y] - это сумма степеней x и y по модулю 2.
Иногда также добавляют аксиомы для | х | = 0 (если 2 обратимо, это следует автоматически) и для | х | = 1 (если 3 обратимо, это следует автоматически). Когда основное кольцо представляет собой целые числа или супералгебра Ли является свободным модулем, эти условия эквивалентны условию выполнения теоремы Пуанкаре – Биркгофа – Витта (и, в общем случае, они являются необходимыми условиями для выполнения теоремы).
Алгебра градуированный Ли (скажем, градуированная по Z или N ) , что антикоммутативен и Якобите в градуированном смысле также имеет градуировку (которая называется «свертывание» алгебры в нечетные и четные части), но не упоминается как " супер". См. Примечание в градуированной алгебре Ли для обсуждения.
Характеристики
Позвольте быть супералгеброй Ли. Исследуя тождество Якоби, можно увидеть, что существует восемь случаев в зависимости от того, четные или нечетные аргументы. Они делятся на четыре класса, индексированных по количеству нечетных элементов: [2]
Никаких лишних элементов. Утверждение - это обычная алгебра Ли.
Один странный элемент. Тогда это -модуль действия .
Два лишних элемента. Тождество Якоби говорит, что скобка является симметричным -отображением.
Три лишних элемента. Для всех , .
Таким образом, даже подалгебра супералгебры Ли образует (нормальный) алгебра Ли , как все признаки исчезают, и суперскобки становится нормальным скобка Ли, в то время как это линейное представление о , и существует симметричная - эквивариантная линейное отображение такое , что
Условия (1) - (3) линейны и все могут быть поняты в терминах обычных алгебр Ли. Условие (4) нелинейно, и его сложнее всего проверить при построении супералгебры Ли, исходя из обычной алгебры Ли ( ) и представления ( ).
Инволюция
* Супералгебра Ли является сложной супералгеброй Ли оснащен инволютивной антилинейной картой от себя к себе , которая уважает Z 2 классификации и удовлетворяет [ х , у ] * = [ у * , х * ] для всех х и у в супералгебрах Ли . (Некоторые авторы предпочитают соглашение [ x , y ] * = (−1) | x || y | [ y * , x *]; изменение * на - * переключает между двумя соглашениями.) Его универсальная обертывающая алгебра была бы обычной * -алгеброй .
Примеры
Для любой ассоциативной супералгебры можно определить суперкоммутатор на однородных элементах следующим образом:
а затем распространяясь по линейности на все элементы. Алгебра вместе с суперкоммутатором становится супералгеброй Ли. Самый простой пример этой процедуры - это, возможно, когда пространство всех линейных функций супервекторного пространства относится к самому себе. Когда , это пространство обозначается или . [3] С помощью скобки Ли, как указано выше, пространство обозначается . [4]
Произведение Уайтхеда на гомотопических группах дает много примеров супералгебр Ли над целыми числами.
Классификация
Простые комплексные конечномерные супералгебры Ли были классифицированы Виктором Кацем .
Основные классические компактные супералгебры Ли (не являющиеся алгебрами Ли): [1]
SU (m / n) Это сверхунитарные алгебры Ли, у которых есть инварианты:
Это дает два ортосимплектических (см. Ниже) инварианта, если мы возьмем переменные mz и переменные nw некоммутативными и возьмем действительную и мнимую части. Следовательно, мы имеем
SU (n / n) / U (1) Частный случай сверхунитарных алгебр Ли, когда мы убираем один образующий U (1), чтобы упростить алгебру.
OSp ( m / 2 n ) Это ортосимплектические группы . У них есть инварианты:
для m коммутативных переменных ( x ) и n пар антикоммутативных переменных ( y , z ). Это важные симметрии в теориях супергравитации .
D (2/1; ) Это набор супералгебр, параметризованных переменной . Он имеет размерность 17 и является подалгеброй OSp (9 | 8). Четная часть группы равна O (3) × O (3) × O (3). Итак, инварианты:
для конкретных констант .
F (4) Эта исключительная супералгебра Ли имеет размерность 40 и является подалгеброй в OSp (24 | 16). Четная часть группы O (3) xSO (7), поэтому три инварианта:
Эта группа связана с октонионами, рассматривая 16-компонентные спиноры как двухкомпонентные спиноры октонионов, а гамма-матрицы, действующие на верхние индексы, как единичные октонионы. Тогда мы имеем где f - структурные константы умножения октонионов.
G (3) Эта исключительная супералгебра Ли имеет размерность 31 и является подалгеброй в OSp (17 | 14). Четная часть группы O (3) × G2. Инварианты аналогичны приведенным выше (это подалгебра F (4)?), Поэтому первый инвариант:
Есть также две так называемые странные серии, называемые p ( n ) и q ( n ).
Классификация бесконечномерных простых линейно компактных супералгебр Ли
Классификация состоит из 10 серий W ( m , n ), S ( m , n ) ((m, n) ≠ (1, 1)), H (2m, n) , K (2 m + 1, n ). , HO (m, m) ( m ≥ 2), SHO ( m , m ) ( m ≥ 3), KO ( m , m + 1), SKO (m, m + 1; β) ( m ≥ 2), ШО ∼ (2 м , 2 м ), СКО ∼ (2 m + 1, 2 m + 3) и пять исключительных алгебр:
E (1, 6) , E (5, 10) , E (4, 4) , E (3, 6) , E (3, 8)
Последние два особенно интересны (согласно Кацу), потому что они имеют стандартную модельную калибровочную группу SU (3) × S U (2) × U (1) в качестве своей алгебры нулевого уровня. Бесконечномерные (аффинные) супералгебры Ли - важные симметрии в теории суперструн . В частности, алгебры Вирасоро с суперсимметриями имеют только центральные расширения до . [5]
Теоретико-категориальное определение
В теории категорий , супералгебра может быть определена как неассоциативная супералгебра , продукт которого удовлетворяет
где σ - плетение циклической перестановкой . В схематической форме:
Смотрите также
Алгебра Герстенхабера
Аньонная алгебра Ли
Алгебра грассмана
Представление супералгебры Ли
Суперпространство
Супергруппа
Универсальная обертывающая алгебра
Примечания
Перейти ↑ Freund 1983 , p. 8
^ Варадараджан 2004 , стр. 89
^ Варадараджан 2004 , стр. 87
^ Варадараджан 2004 , стр. 90
^ Кац 2010
использованная литература
Cheng, S.-J .; Ван, В. (2012). Двойственности и представления супералгебр Ли . Аспирантура по математике. 144 . стр.302с. ISBN 978-0-8218-9118-6.
Фройнд, ПГО (1983). Введение в суперсимметрию . Кембриджские монографии по математической физике. Издательство Кембриджского университета . DOI : 10.1017 / CBO9780511564017 . ISBN 978-0521-356-756.
Грозман, П .; Leites, D .; Щепочкина И. (2005). "Супералгебры Ли теории струн". Acta Mathamatica Vietnamica . 26 (2005): 27–63. arXiv : hep-th / 9702120 . Bibcode : 1997hep.th .... 2120G .
Кац, В.Г. (2010). «Классификация бесконечномерных простых групп суперсимметрий и квантовая теория поля». Видения в математике : 162–183. arXiv : math / 9912235 . DOI : 10.1007 / 978-3-0346-0422-2_6 . ISBN 978-3-0346-0421-5. S2CID 15597378 .
Манин, Ю.И. (1997). Теория калибровочного поля и комплексная геометрия ((2-е изд.) Изд.). Берлин: Springer. ISBN 978-3-540-61378-7.
Муссон, И.М. (2012). Супералгебры Ли и обертывающие алгебры . Аспирантура по математике . 131 . стр. 488 с. ISBN 978-0-8218-6867-6.
Варадараджан, VS (2004). Суперсимметрия для математиков: Введение . Конспект лекций Куранта по математике. 11 . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3574-6.
Исторический
Frölicher, A .; Nijenhuis, A. (1956). «Теория векторных дифференциальных форм. Часть I». Indagationes Mathematicae . 59 : 338–350. DOI : 10.1016 / S1385-7258 (56) 50046-7 ..
Герстенхабер, М. (1963). «Структура когомологий ассоциативного кольца». Анналы математики . 78 (2): 267–288. DOI : 10.2307 / 1970343 . JSTOR 1970343 .
Герстенхабер, М. (1964). «О деформации колец и алгебр». Анналы математики . 79 (1): 59–103. DOI : 10.2307 / 1970484 . JSTOR 1970484 .
Милнор, JW ; Мур, Дж. К. (1965). «О строении алгебр Хопфа» . Анналы математики . 81 (2): 211–264. DOI : 10.2307 / 1970615 . JSTOR 1970615 .