Чарльз Лёвнер

Чарльз Лёвнер
Чарльз Лёвнер в 63-м
Родившийся	( 1893-05-29 )29 мая 1893 г. Ланы , Богемия
Умер	8 января 1968 г. (1968-01-08)(74 года) Стэнфорд , Калифорния
Национальность	Американец
Альма-матер	Karl-Ferdinands-Universität
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Стэнфордский университет Сиракузский университет Пражский университет
Докторант	Георг Александр Пик
Докторанты	Липман Берс Уильям Дж. Файери Адриано Гарсия Роджер Хорн Пао Мин Пу

Чарльз Лёвнер (29 мая 1893 - 8 января 1968) был американским математиком . Его звали Карел Лёвнер по-чешски и Карл Лёвнер по-немецки.

Карл Лёвнер родился в еврейской семье в Ланах, примерно в 30 км от Праги, где его отец Зигмунд Лёвнер был владельцем магазина. ^[1]^[2]

Лёвнер получил докторскую степень. из Пражского университета в 1917 году под руководством Георга Пика . Одним из его центральных математических вкладов является доказательство гипотезы Бибербаха в первом весьма нетривиальном случае третьего коэффициента. Предложенная им техника - дифференциальное уравнение Лёвнера - имеет далеко идущие последствия в геометрической теории функций ; он был использован в окончательном решении гипотезы Бибербаха по Луи де Бранжа в 1985 году Лёвнер работал в Берлинском университете , Пражском университете , Университете Луисвилля , Университет Брауна ,Сиракузский университет и, наконец, Стэнфордский университет . Среди его учеников Липман Берс , Роджер Хорн , Адриано Гарсия и П.М. Пу .

Неравенство тора Лёвнера [ править ]

В 1949 году Лёвнер доказал свое торическое неравенство , согласно которому каждая метрика на 2-торе удовлетворяет оптимальному неравенству

{\ displaystyle \ operatorname {sys} ^ {2} \ leq {\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ operatorname {area} (\ mathbb {T} ^ {2}),}

где sys - его систола . Граничный случай равенства достигается тогда и только тогда, когда метрика плоская и гомотетична так называемому равностороннему тору , т. Е. Тору, группа преобразований колоды которого представляет собой в точности гексагональную решетку, натянутую на кубические корни из единицы в . ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Матричная теорема Лёвнера [ править ]

Матрица Левнера (в линейной алгебре ) представляет собой квадратную матрицу или, более конкретно, линейный оператор (вещественных функций) , связанных с 2 входными параметрами , состоящих из (1) в режиме реального непрерывно дифференцируемой функции на отрезке действительных чисел и (2 ) -мерный вектор с элементами, выбранными из подынтервала; 2 входным параметрам назначается выходной параметр, состоящий из матрицы. ^[3] ${\ displaystyle C ^ {1}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle п \ раз п}$

Позвольте быть вещественной функцией, которая непрерывно дифференцируема на открытом интервале . ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle (а, б)}$

Для любого определения разделенной разности в в качестве ${\ displaystyle s, t \ in (a, b)}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle s, t}$

{\ displaystyle f ^ {[1]} (s, t) = {\ frac {f (s) -f (t)} {st}},}

если

{\ displaystyle s \ neq t}

{\ displaystyle = f '(s)}

, если .

{\ displaystyle s = t}

Учитывая , что матрица Лёвнера, связанная с for , определяется как матрица , -entry которой является . ${\ displaystyle t_ {1}, \ ldots, t_ {n} \ in (a, b)}$ ${\ displaystyle L_ {f} (t_ {1}, \ ldots, t_ {n})}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle (т_ {1}, \ ldots, т_ {п})}$ ${\ Displaystyle п \ раз п}$ ${\ displaystyle (я, j)}$ $f^{[1]}(t_{i},t_{j})$

В своей фундаментальной 1934 бумаге Лёвнер доказал , что для каждого натурального числа , является -monotone на тогда и только тогда является неотрицательно при любым выбором . ^[3]^[4]^[5] Наиболее существенно, используя эту эквивалентность, он доказал , что является -monotone на всем , если и только если реально аналитическом с аналитическим продолжением в верхнюю полуплоскость , которая имеет положительную мнимую часть на верхнем самолет. $n$ $f$ n {\displaystyle n} $(a,b)$ $L_{f}(t_{1},\ldots ,t_{n})$ $t_{1},\ldots ,t_{n}\in (a,b)$ $f$ n {\displaystyle n} $(a,b)$ $n$ $f$

Непрерывные группы [ править ]

«Во время визита [Лёвнера] в Беркли в 1955 году он читал курс по непрерывным группам , и его лекции были воспроизведены в виде дублированных заметок. Лёвнер планировал написать подробную книгу о непрерывных группах на основе этих лекционных заметок, но проект все еще был в стадии формирования на момент его смерти ". Харли Фландерс и Мюррей Х. Проттер «решили пересмотреть и исправить исходные записи лекций и сделать их доступными в постоянной форме». ^[6] Чарльз Лёвнер: Теория непрерывных групп (1971) был опубликован MIT Press , ^[7] и переиздан в 2008 году. ^[8]

В терминологии Лёвнера, если х ∈ S и групповое действие выполняется на S , то х называется количество (стр.10). Различают абстрактную группу и реализацию в терминах линейных преобразований, которые дают представление группы . Эти линейные преобразования обозначаются якобианами (стр. 41). Термин инвариантная плотность используется для меры Хаара , которую Лёвнер приписывает Адольфу Гурвицу (стр. 46). Лёвнер доказывает, что компактные группы ${\mathfrak {g}},$ ${\mathfrak {g}},$ $J({\overset {u}{v}})$ имеют равную левую и правую инвариантные плотности (стр. 48).

Рецензент сказал: «Читателю помогают проясняющие примеры и комментарии относительно отношений с анализом и геометрией». ^[9]

См. Также [ править ]

Дифференциальное уравнение Лёвнера
Эволюция Шрамма – Лёвнера
Случайное блуждание со стиранием цикла
Систолическая геометрия

Ссылки [ править ]

Бергер, Марсель : À l'ombre de Loewner. (Французский) Ann. Sci. École Norm. Как дела. (4) 5 (1972), 241–260.
Лёвнер, Чарльз; Ниренберг, Луи: дифференциальные уравнения с частными производными, инвариантные относительно конформных или проективных преобразований. Вклад в анализ (сборник статей, посвященный Липману Берсу), стр. 245–272. Academic Press, Нью-Йорк, 1974.

^ Биография Лёвнера
^ 2.2 Чарльз Лёвнер
^ а б Хайай, Фумио; Сано, Такаши (2012). «Матрицы Лёвнера матричных выпуклых и монотонных функций». Журнал математического общества Японии . 54 (2): 343–364. arXiv : 1007.2478 . DOI : 10.2969 / jmsj / 06420343 .
^ Löwner, Карл (1934). «Убер монотонный Matrixfunktionen». Mathematische Zeitschrift . 38 (1): 177–216. DOI : 10.1007 / BF01170633 .
^ Лёвнер, Чарльз (1950). «Некоторые классы функций, определяемые разностными или дифференциальными неравенствами» . Бык. Амер. Математика. Soc . 56 : 308–319. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1950-09405-1 .
^ Предисловие, страница ix
^ ISBN 0-262-06-041-8
^ Dover переиздание . 2008 г.
^ Дин Монтгомери MR 0315038

Внешние ссылки [ править ]

Стэнфордская мемориальная резолюция
О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Чарльз Лёвнер" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.

[1] Биография Лёвнера

[2] 2.2 Чарльз Лёвнер

[Hiai-3] а б Хайай, Фумио; Сано, Такаши (2012). «Матрицы Лёвнера матричных выпуклых и монотонных функций». Журнал математического общества Японии . 54 (2): 343–364. arXiv : 1007.2478 . DOI : 10.2969 / jmsj / 06420343 .

[4] Löwner, Карл (1934). «Убер монотонный Matrixfunktionen». Mathematische Zeitschrift . 38 (1): 177–216. DOI : 10.1007 / BF01170633 .

[5] Лёвнер, Чарльз (1950). «Некоторые классы функций, определяемые разностными или дифференциальными неравенствами» . Бык. Амер. Математика. Soc . 56 : 308–319. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1950-09405-1 .

[6] Предисловие, страница ix

[7] ISBN 0-262-06-041-8

[8] Dover переиздание . 2008 г.

[9] Дин Монтгомери MR 0315038

[1]