Группа петлевых кос представляет собой математическую групповую структуру , которая используется в некоторых моделях теоретической физики для моделирования обмена частицами с петлеобразными топологиями в трех измерениях пространства и времени.
Основные операции, которые создают группу петлевых кос для n петель, — это обмен двумя соседними петлями и пропускание одной соседней петли через другую. Топология заставляет эти образующие удовлетворять некоторым соотношениям, определяющим группу.
Чтобы быть точным, группа петлевых кос на n петлях определяется как группа движений n непересекающихся окружностей, вложенных в компактный трехмерный «ящик», диффеоморфный трехмерному диску. Движение — это петля в конфигурационном пространстве, состоящая из всевозможных способов вложения n окружностей в 3-диск. Это становится группой так же, как петли в любом пространстве могут быть объединены в группу; сначала мы определяем классы эквивалентности петель, считая пути g и h эквивалентными тогда и только тогда, когда они связаны (гладкой) гомотопией, а затем мы определяем групповую операцию над классами эквивалентности путем конкатенации путей. В своей докторской диссертации 1962 г.В диссертации Дэвид М. Дам смог показать, что существует инъективный гомоморфизм из этой группы в группу автоморфизмов свободной группы на n образующих, поэтому естественно отождествить группу с этой подгруппой группы автоморфизмов. [1] Можно также показать, что группа петлевых кос изоморфна группе сварных кос, как это сделано, например, в статье Джона К. Баэза , Дерека Уайза и Алиссы Крэнс , в которой также даются некоторые представления петлевой косы. группа, использующая работу Xiao-Song Lin. [2]