Центральная предельная теорема цепи Маркова

Эта статья требует внимания специалиста по математике . Пожалуйста , добавьте причину в или разговоре параметр для этого шаблона , чтобы объяснить проблему с статьей. WikiProject Mathematics может помочь нанять эксперта. ( Октябрь 2019 г. )

В математической теории случайных процессов , то центральная предельная теорема цепи Маркова имеет заключение несколько похожего по форме , что классическая центральной предельной теорема (ЦПТ) теории вероятностей, но количество в роли занятых дисперсий в классическом ЦПТЕ имеет более сложное определение.

Заявление [ править ]

Предположим, что:

• последовательность из случайных элементов некоторого множества является цепью Маркова , которая имеет стационарное распределение вероятностей ; а также${\ textstyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, \ ldots}$
• начальное распределение процесса, то есть распределение , является стационарным распределением, поэтому они распределены одинаково. В классической центральной предельной теореме эти случайные величины предполагались бы независимыми , но здесь мы имеем только более слабое предположение, что процесс обладает марковским свойством ; а также${\ textstyle X_ {1}}$${\ textstyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, \ ldots}$
• ${\ textstyle g}$ - некоторая (измеримая) вещественная функция, для которой ${\ textstyle \ operatorname {var} (g (X_ {1})) <+ \ infty.}$

Теперь позвольте

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mu & = \ operatorname {E} (g (X_ {1})), \\\ sigma ^ {2} & = \ operatorname {var} (g (X_ {1} )) + 2 \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ operatorname {cov} (g (X_ {1}), g (X_ {1 + k})), \\ {\ widehat {\ mu }} _ {n} & = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} g (X_ {k}). \ end {align}}}$

Тогда, как и у нас ^[1]${\ textstyle n \ to \ infty,}$

${\ displaystyle {\ hat {\ mu}} _ {n} \ приблизительно \ operatorname {Normal} \ left (\ mu, {\ frac {\ sigma ^ {2}} {n}} \ right),}$

или, точнее,

${\ displaystyle {\ sqrt {n}} ({\ hat {\ mu}} _ {n} - \ mu) \ {\ xrightarrow {\ mathcal {D}}} \ {\ text {Normal}} (0, \ sigma ^ {2}),}$

где украшенная стрелка указывает на сходимость в распределении .

Настройка Монте-Карло [ править ]

Центральная предельная теорема марковской цепи может быть гарантирована для функционалов от общего пространства состояний марковских цепей при определенных условиях. В частности, это можно сделать с упором на настройки Монте-Карло. Пример приложения в настройке MCMC (цепь Маркова Монте-Карло) следующий:

Рассмотрим простую модель с жесткой оболочкой (также называемую жестким ядром). Предположим, что X = {1,. . . , n 1} × {1,. . . , n 2} ⊆ Z 2. Правильная конфигурация на X состоит из раскраски каждой точки в черный или белый так, чтобы никакие две соседние точки не были белыми. Пусть X обозначает набор всех правильных конфигураций на X, NX (n 1, n 2) - общее количество правильных конфигураций, а π - равномерное распределение на X, так что каждая правильная конфигурация одинаково вероятна. Предположим, наша цель - вычислить типичное количество белых точек в правильной конфигурации; то есть, если W (x) - количество белых точек в x ∈ X, то нам нужно значение

${\displaystyle E_{\pi }W=\sum _{x\epsilon \mathrm {X} }={\frac {w{\bigl (}x{\bigr )}}{N_{\mathrm {X} }{\bigl (}n_{1},n_{2}{\bigr )}}}}$

Если n1 и n2 даже умеренно велики, нам придется прибегнуть к приближению E π W. Рассмотрим следующую цепь Маркова на X. Зафиксируем p ∈ (0, 1) и положим X 0 = x 0, где x 0 ∈ X - произвольная правильная конфигурация. Выберем случайным образом точку (x, y) ∈ X и независимо проведем U ∼ Uniform (0, 1). Если u ≤ p и все соседние точки черные, то раскрасьте (x, y) в белый цвет, оставив все остальные точки в покое. В противном случае закрасьте (x, y) в черный цвет и оставьте все остальные точки в покое. Назовите получившуюся конфигурацию X 1. Продолжение этого способа дает эргодическую цепь Маркова Харриса {X_0, X_1, X_2,. . .} с инвариантным распределением π. Теперь просто оценить E π W с помощью w̄ n. Кроме того, поскольку X конечно (хотя и потенциально велико), хорошо известно, что X будет экспоненциально быстро сходиться к π, что означает, что CLT выполняется для w̄ n.

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Гордин М.И. и Лифшич Б.А. (1978). «Центральная предельная теорема для стационарных марковских процессов». Советская математика, Докл. , 19 , с. 392–394. (Английский перевод русского оригинала).
• Гейер, Чарльз Дж. (2011). «Введение в MCMC». В Справочнике по цепям Маркова Монте-Карло под редакцией С.П. Брукса, А.Е. Гельмана, Г.Л. Джонса и XL Meng. Chapman & Hall / CRC, Boca Raton, pp. 3–48.