Алгоритм повторения Миллера

Рекуррентный алгоритм Миллера — это процедура вычисления быстро убывающего решения линейного рекуррентного соотношения , разработанная JCP Miller . ^[1] Первоначально он был разработан для вычисления таблиц модифицированной функции Бесселя ^[2] , но также применяется к функциям Бесселя первого рода и имеет другие приложения, такие как вычисление коэффициентов чебышёвских разложений других специальных функций. ^[3]

Многие семейства специальных функций удовлетворяют рекуррентному соотношению, которое связывает значения функций разных порядков с общим аргументом . ${\ Displaystyle х}$

Модифицированные функции Бесселя первого рода удовлетворяют рекуррентному соотношению ${\ Displaystyle I_ {п} (х)}$

Однако модифицированные функции Бесселя второго рода также удовлетворяют тому же рекуррентному соотношению ${\ Displaystyle К_ {п} (х)}$

Первое решение быстро убывает с . Второе решение быстро растет с . Алгоритм Миллера обеспечивает численно устойчивую процедуру получения убывающего решения. ${\ Displaystyle п}$ ${\ Displaystyle п}$

Чтобы вычислить условия повторения в соответствии с алгоритмом Миллера, сначала выбирают значение , намного большее, чем , и вычисляют пробное решение, принимая начальное условие к произвольному ненулевому значению (например, 1) и принимая последующие условия равными нулю. Затем рекуррентное соотношение используется для последовательного вычисления пробных значений вплоть до . Отметив, что вторая последовательность, полученная из пробной последовательности путем умножения на постоянный нормализующий коэффициент, по-прежнему будет удовлетворять тому же рекуррентному соотношению, можно затем применить отдельное нормализующее соотношение для определения нормирующего коэффициента, который дает фактическое решение. ${\ Displaystyle а_ {0}}$ ${\ Displaystyle а_ {N}}$ ${\ Displaystyle М}$ ${\ Displaystyle Н}$ ${\ Displaystyle а_ {М}}$ ${\ Displaystyle а_ {М + 1}}$ ${\ Displaystyle а_ {М-1}}$ ${\ Displaystyle а_ {М-2}}$ ${\ Displaystyle а_ {0}}$