p-FEM или p-версия метода конечных элементов - это численный метод решения уравнений в частных производных . Это стратегия дискретизации, в которой сетка конечных элементов фиксирована, а полиномиальные степени элементов увеличиваются таким образом, чтобы наименьшая полиномиальная степень, обозначаемая, приближается к бесконечности. Это контрастирует с «h-версией» или «h-FEM», широко используемой стратегией дискретизации, в которой полиномиальные степени элементов фиксированы, а сетка уточняется так, что диаметр наибольшего элемента обозначается приближается к нулю.
На основе линейной задачи механики упругого разрушения было продемонстрировано, что последовательности решений конечных элементов, основанные на p-версии, сходятся быстрее, чем последовательности, основанные на h-версии Сабо и Мехта в 1978 году. [1] Теоретические основы p-версия была установлена в статье, опубликованной Бабушкой , Сабо и Кацем в 1981 г. [2], где было показано, что для большого класса задач асимптотическая скорость сходимости p-версии по энергетической норме как минимум вдвое выше, чем у p-версии. h-версия, предполагающая, что используются квазиоднородные сетки. Дополнительные результаты вычислений и доказательства более быстрой сходимости p-версии были представлены Бабушкой и Сабо в 1982 г. [3]
Различие между h- и p-версиями существует прежде всего по историческим и теоретическим причинам. В практических приложениях важны как конструкция сетки, так и выбор степени полинома. Фактически, можно реализовать экспоненциальную скорость сходимости, когда p-версия используется в сочетании с правильным дизайном сетки. Этот момент обсуждался с инженерной точки зрения Сабо и с теоретической точки зрения Гуо и Бабушкой в 1986 году. [4] [5] Реализация экспоненциальных скоростей сходимости для уравнений Максвелла обсуждалась Костабелем , Дауге и Швабом в 2005 году [6]
Рекомендации
- ^ Сабо, Б.А. и Мета, А.К., "p-конвергентные приближения конечных элементов в механике разрушения". Международный журнал численных методов в инженерии 12, стр. 551-560, 1978.
- ^ Бабушка I, Сабо, Б. А. и Кац, И. Н., "p-версия метода конечных элементов". SIAM Journal on Numerical Analysis 18, pp. 515-545, 1981.
- ^ Бабушка, И. и Сабо, Б.А., «О скоростях сходимости метода конечных элементов». Международный журнал численных методов в инженерии 18, стр. 323-341, 1982.
- ^ Сабо, Б. А., "Расчет сетки для p-версии метода конечных элементов". Компьютерные методы в прикладной механике и технике 55 (1), стр. 181-197, 1986.
- ^ Гуо, Б. и Бабушка, И. "Версия HP метода конечных элементов. Часть 1. Основные результаты аппроксимации". Computational Mechanics 55, pp. 21-41, 1986.
- ^ Костабель, М., Дауге, М., и Шваб, К., "Экспоненциальная сходимость hp-FEM для уравнений Максвелла с взвешенной регуляризацией в многоугольных областях". Математические модели и методы в прикладных науках 15 (04), стр. 575-622, 2005.