Надежный дизайн параметров

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья требует внимания эксперта в области машиностроения . Конкретная проблема заключается в следующем: статья была написана в 2012 году, и с тех пор ей уделялось необычно мало внимания. Это еще не соответствует обычному качеству Википедии. WikiProject Engineering может помочь нанять эксперта. ( Сентябрь 2019 г. ) Ведущий раздел этой статьи может быть слишком длинным для всей статьи . Помогите, переместив какой-нибудь материал из него в основную часть статьи. Пожалуйста, прочтите руководство по макету и руководящие принципы ведущего раздела, чтобы убедиться, что раздел по-прежнему включает в себя все важные детали. Пожалуйста, обсудите этот вопрос на странице обсуждения статьи . ( Май 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Надежный дизайн параметров , представленный Геничи Тагучи , представляет собой экспериментальный план , используемый для использования взаимодействия между контрольными и неконтролируемыми шумовыми переменными с помощью робастизации - нахождения настроек контрольных факторов, которые минимизируют вариацию отклика от неконтролируемых факторов. ^[1] Контрольные переменные - это переменные, которые полностью контролируются экспериментатором. Переменные шума лежат на другой стороне спектра. В то время как эти переменные можно легко контролировать в экспериментальных условиях, за пределами экспериментального мира их очень трудно, если вообще возможно, контролировать. В надежных конструкциях параметров используется соглашение об именах, аналогичное FFD. А 2 ^{(m1 + m2) - (p1-p2)}представляет собой двухуровневый план, где m1 - количество факторов управления, m2 - количество факторов шума, p1 - уровень фракционирования для факторов управления, а p2 - уровень разделения факторов шума.

Эффект разреженности. Взаимодействие может существенно повлиять на ответ только в том случае, если хотя бы один из родительских факторов влияет на ответ.

Рассмотрим пример выпечки торта RPD из Монтгомери (2005), где экспериментатор хочет улучшить качество торта. ^[2]Хотя производитель торта может контролировать количество муки, количество сахара, количество разрыхлителя и красящий состав торта, другие факторы, такие как температура духовки и время выпекания, не поддаются контролю. Производитель может распечатать инструкции для времени выпечки 20 минут, но в реальном мире не контролирует привычки потребителей выпекать. Колебания качества пирога могут возникнуть из-за выпекания при температуре 325 ° вместо 350 ° или из-за того, что пирог оставлен в духовке на слишком короткий или слишком долгий период времени. Надежные конструкции параметров стремятся минимизировать влияние факторов шума на качество. В этом примере производитель надеется свести к минимуму влияние колебаний времени выпечки на качество торта, и при этом требуются оптимальные настройки для факторов управления.

RPD в основном используются при моделировании, где обычно легко контролировать неконтролируемые шумовые переменные. В то время как в реальном мире факторы шума трудно контролировать; в экспериментальных условиях легко сохранить контроль над этими факторами. В примере с выпечкой торта экспериментатор может изменять время выпекания и температуру духовки, чтобы понять последствия такого колебания, которое может произойти, когда контроль больше не находится в его / ее руках.

Надежные планы параметров очень похожи на дробные факторные планы (FFD) в том, что оптимальный план может быть найден с использованием матриц Адамара , поддерживаются принципы иерархии эффектов и факторной разреженности, а при фракционировании полных RPD присутствует наложение спектров. Подобно FFD, RPD представляют собой экранирующие конструкции и могут предоставить линейную модель имеющейся системы. Под иерархией эффектов для FFD подразумевается то, что взаимодействия более высокого порядка имеют тенденцию оказывать незначительное влияние на реакцию. ^[3] Как указано у Каррауэя, основные эффекты, скорее всего, будут влиять на реакцию, затем на двухфакторные взаимодействия, затем на трехфакторные взаимодействия и так далее. ^[4]Концепция разреженности эффекта заключается в том, что не все факторы будут влиять на реакцию. Эти принципы лежат в основе дробления матриц Адамара. Путем разделения экспериментаторы могут делать выводы за меньшее количество запусков и с меньшими ресурсами. Часто RPD используются на ранних стадиях эксперимента. Поскольку двухуровневые RPD предполагают линейность среди факторов, влияющих на факторы, можно использовать другие методы для моделирования кривизны после того, как количество факторов было уменьшено.

Строительство

Частичный шаблон проектирования. Матрицы Адамара могут быть нормализованы и фракционированы для создания экспериментального плана.

Матрицы Адамараквадратные матрицы, состоящие только из + и -. Если матрица Адамара нормализована и дробится, получается шаблон проектирования. Однако не все дизайны одинаковы, а это означает, что одни проекты лучше других, и для определения того, какой дизайн лучше, используются определенные критерии дизайна. После получения шаблона проектирования экспериментаторы обычно знают, какие настройки следует установить для каждого фактора. Каждая строка в шаблоне указывает цикл, а каждый столбец указывает коэффициент. Для частичного шаблона проектирования, показанного слева, экспериментатор определил семь факторов, которые могут влиять на реакцию, и надеется получить представление о том, какие факторы влияют на восемь прогонов. В первом прогоне для факторов 1, 4, 5 и 6 устанавливаются высокие уровни, а для факторов 2, 3 и 7 устанавливаются низкие уровни.Низкие и высокие уровни - это настройки, обычно определяемые экспертом в предметной области. Эти значения являются крайними, но не настолько экстремальными, чтобы отклик переходил в негладкие области. После каждого прогона получаются результаты; и изменяя несколько факторов в отдельных прогонах вместо использованияМетод OFAT позволяет оценить взаимодействие между переменными, а также влияние отдельных факторов. Если два фактора взаимодействуют, то влияние одного фактора на реакцию различается в зависимости от настроек другого фактора.

Соответствующее фракционирование матриц Адамара требует очень много времени. Рассмотрим дизайн из 24 прогонов, учитывающий шесть факторов. Количество планов Адамара из каждой матрицы Адамара равно 23, выберите 6; то есть 100 947 дизайнов из каждой матрицы Адамара 24 × 24. Поскольку существует 60 матриц Адамара такого размера, общее количество планов для сравнения составляет 6 056 820. Леоппки, Бингхэм и Ситтер (2006) использовали полную методологию поиска и перечислили лучшие RPD для 12, 16 и 20 прогонов. Поскольку полная поисковая работа является настолько исчерпывающей, лучшие проекты для больших тиражей часто недоступны. В этом случае можно использовать другие статистические методы для разделения матрицы Адамара таким образом, чтобы допускать только допустимое количество наложения спектров. Эффективные алгоритмы, такие как прямой выбор иОбратное исключение было произведено для FFD, но из-за сложности наложения спектров, вносимых различением управляющих и шумовых переменных, эти методы еще не доказали свою эффективность для RPD. ^{[5] [6] [7]}

История и критерии проектирования

Чтобы полностью понять критерии дизайна, необходимо понимание истории и дробных факторных планов. FFD стремятся понять, какие факторы влияют на ответ, и стремятся оптимизировать ответ, находя подходящие настройки факторов. В отличие от RPD, FFD не различают управляющие и шумовые переменные.

Разрешение и минимальная аберрация

В 2003 году Бингхэм и Ситтер ^[8]определены максимальное разрешение и минимальная аберрация для двухуровневых дробных факторных планов. Разрешение определяет наихудшее количество присутствующих наложений, а аберрация определяет, какая часть этого наихудшего наложения присутствует в дизайне. Резолюция III разрабатывает псевдонимы основных эффектов с двухфакторным взаимодействием. Резолюция IV разрабатывает псевдонимы основных эффектов с трехфакторным взаимодействием. Resolution V создает псевдонимы основных эффектов с четырехфакторным взаимодействием. По мере увеличения разрешения уровень наложения спектров становится менее серьезным, поскольку взаимодействия более высокого порядка имеют тенденцию иметь незначительное влияние на отклик. Разрешение измеряет обычные конструкции; то есть эффекты либо полностью накладываются друг на друга, либо не накладываются вовсе. Рассмотрим следующее утверждение: «Фактор A связан с двухфакторным взаимодействием факторов BC».Это означает, что если двухфакторное взаимодействие BC влияет на отклик, то оценка влияния фактора A на отклик искажена, поскольку эффект фактора A нельзя отличить от эффекта BC. Очевидно, что дизайн с разрешением V предпочтительнее, чем с разрешением IV.

Дизайны с одним и тем же разрешением не всегда равны, и знания того, какой тип наложения спектров является наихудшим, недостаточно, чтобы знать, какой дизайн лучше. Вместо этого необходимо дальнейшее исследование того, какая степень алиасинга в наихудшем случае необходима. Эта идея известна как минимальная аберрация. Лучшие дизайны содержат наименьшее количество наихудшего псевдонима. Если планы D1 и D2 имеют разрешение V, но D1 имеет больше примеров основных эффектов, связанных с 4-факторными взаимодействиями, то D2 - лучший дизайн. D2 - лучший дизайн, потому что существует большее количество хорошо оцененных эффектов.

Обобщенное разрешение и обобщенная минимальная аберрация

Фонтана, Пистоун и Рогантин ^[9] создали индикаторную функцию для двухуровневых дробных факторных планов, а в 2003 году Йе расширил индикаторную функцию для регулярных и нерегулярных планов. ^[10] При этом Йе установил обобщенное разрешение и минимальную обобщенную аберрацию. Принимая во внимание, что обычные проекты - это проекты, размер серии которых равен степени двойки; нестандартные конструкции могут быть любым числом, кратным четырем. В нестандартных проектах эффекты могут быть полностью наложены, частично наложены или вообще не наложены. Обобщенная минимальная аберрация и общее разрешение учитывают это частичное наложение спектров.

Формально Ye (2003) различает регулярный и нерегулярный планы и утверждает, что любую полиномиальную функцию можно записать как

F (x) = Σ _JϵP b _J X _J (x) = Σ _J∈PC Σ _K∈PN b _J∪K X _J∪K (x) , где b _L = 1/2 ^m Σ _x∈F X _L ( x) и b ₀ = n ⁄ 2 ^м .

Если | b _J∪K ⁄ b ₀ | = 1 , то план правильный; в противном случае существует частичное наложение.

Пока Йе разрабатывал эту индикаторную функцию, Бингхэм и Ситтер работали над уточнением разрешения и аберрации для надежных расчетов параметров. В 2006 году Леоппки, Бингхэм и Ситтер опубликовали расширенный шаблон длины слова и индикаторную функцию для надежных расчетов параметров. Поскольку RPD заботятся о минимизации вариаций процесса из-за шумовых факторов, приоритет эффектов изменяется от иерархии эффектов FFD. Главные эффекты по-прежнему являются первым приоритетом, а двухфакторные взаимодействия - вторым приоритетом; но если какие-либо взаимодействия имеют взаимодействие «управление с помощью шума» (CN), то это взаимодействие увеличивается на 0,5 по шкале приоритета. Например, трехфакторное взаимодействие CCN будет иметь приоритет 3 в FFD, потому что трехфакторные взаимодействия являются третьим приоритетом, двухфакторные взаимодействия - вторым приоритетом,и главные эффекты являются первоочередной задачей. Однако, поскольку RPD озабочены шумовыми переменными, взаимодействие CCN является эффектом приоритета 2.5. Взаимодействие CN увеличивает приоритет на 0,5; поэтому традиционный приоритет 3 минус 0,5 для взаимодействия CN дает приоритет 2,5. Полную таблицу приоритетов можно найти в Leoppky, Bingham, and Sitter (2006).^[11]

Сравнение дизайна

Дальнейшее изучение представленных принципов обеспечит более глубокое понимание сравнения проектов. ^{[ необходима цитата ]}

Для обычных дробных факторных планов длина слова будет определять, какие типы псевдонимов присутствуют. Например, слово «2367» можно разбить на структуры с псевдонимом следующим образом:

Слово 2367 имеет длину 4, и наихудший случай наложения псевдонимов состоит в том, что основные эффекты накладываются на трехфакторные взаимодействия, а двухфакторные взаимодействия накладываются на другие двухфакторные взаимодействия.

Когда мы говорим о RPD, длина слов становится менее упрощенной, потому что изменился приоритет эффектов. Рассмотрим слово 23578, где факторы 2, 3 и 5 - это управляющие переменные, а факторы 7 и 8 - переменные шума. Следующие строки псевдонима могут быть образованы от этого слова:

2 = 3578, 3 = 2578 5 = 2378 или C = CCNN
7 = 2358, 8 = 2357 или N = CCCN
23 = 578, 25 = 378, 35 = 278 или CC = CNN
27 = 358 и 28 = 357 или CN = CCN
235 = 78 или CCC = NN

Теперь, когда можно увидеть, какие типы псевдонимов возникают, необходимо использовать приоритет эффектов Леоппки, Бингема и Ситтера, чтобы определить наихудшее количество присутствующих псевдонимов. Это означает, что любое взаимодействие CN увеличивает этот приоритет на 0,5; а длина слова получается суммированием каждой стороны строки псевдонима. В таблице ниже приведены суммы для каждого типа псевдонима, найденного в слове 23578.

Поскольку меньшие суммы указывают на худшее сглаживание, это слово имеет наихудшее сглаживание длины 4. Важно понимать ^{[ необходима цитата ]}что в FFD различие между управлением и шумом не будет приниматься во внимание, и это слово будет иметь длину 5; но RPD имеют дело с этим различием, и даже несмотря на то, что слово кажется длиной 5, критерии разработки определяют приоритет 4. Теперь предположим, что дизайн D1 содержит только только что проанализированное слово (23578). Если бы D1 сравнивали с D2, а наихудший случай наложения имен, обнаруженный в D2, имел приоритет 3.5, то D1 был бы лучшим дизайном. Если, однако, наихудший случай наложения спектров D2 имел приоритет 4, то необходимо учитывать минимальную аберрацию. Для каждого дизайна мы вычислили бы частоты каждого типа наихудшего случая наложения спектров. Лучше выбрать дизайн, который сводит к минимуму возникновение наихудшего случая наложения спектров. Эти частоты могут быть организованы с использованием шаблона расширенной длины слова (EWLP).

Обозначение

Понятие минимальной аберрации можно понять из определения, данного Leoppky, Bingham, and Sitter (2006):

Для любых двух 2 ^{(m1 + m2) - (p1 + p2)} дробных факторных планов устойчивых параметров, D1 и D2, мы говорим, что D1 имеет меньше аберраций, чем D2, если существует r такое, что B _i (D1) = B _i (D2) для всех i <r - 1 и B _r (D1) <B _r (D2) . Если ни один другой дизайн не имеет меньших аберраций, чем D1, то D1 является минимальным дробным факторным планом устойчивых параметров аберрации.

Леоппки, Бингхэм и Ситтер (2006) также предоставляют функцию индикатора RPD как:

Для данного плана D и серии x∈D определите контраст X _{L (x)} = Π _l∈L x _l на D, где L ∈ P, а P - множество всех подмножеств {1, 2 , ..., м} . Далее, определим P _C как набор всех подмножеств {1, 2, ..., m} и P _N как набор всех подмножеств {1, 2, ..., m} , где элемент Р имеет вид L ≡ J ∪ K , где J ∈ P , _C и K ∈ P _N .

Расширенный шаблон длины слова

Бингхэм и Ситтер (2006) создают EWLP, предлагая следующую концепцию:

Пусть F - надежный план параметров с индикаторной функцией F (x) = Σ _J∈PC Σ _K∈PN b _J∪K X _J∪K (x) , если b _J∪K ≠ 0 , то X _J∪K является слово дизайна F с длиной слова r + (1- | b _J∪K ⁄ b ₀ |) / 2 , где | b _J∪K ⁄ b ₀ | является мерой степени смешения слова X _J∪K . Далее пусть g _{r + l / 2t} - количество слов длины (r + l / 2t), где r = 2,0, 2,5, 3,0, ... согласно таблице 2.1. Таким образом, расширенный шаблон длины слова для надежного проектирования параметров равен (g _2.0 , ..., g _{2.0 + ((t-1)) ⁄ 2t} , ..., g _m-1 , ..., g _{m + (t- 1) ⁄ 2т} ) .

Рассмотрим конструкции D1 и D2 со следующими EWLP:

D1: [(0 0 3) (2 3 1) (2 5 5)]

D2: [(0 0 3) (2 4 0) (2 4 6)]

EWLP можно читать слева направо, поскольку левая сторона указывает на наиболее серьезный уровень сглаживания, и смещение становится менее серьезным по мере того, как мы движемся вправо. D2 - лучший дизайн, потому что есть еще один случай более серьезного искажения, чем в D1.

Использование и примеры

Планирование экспериментов (DOE) является фундаментальной частью экспериментов, моделирования и симуляции. ^{[ необходима цитата ]} Бэнкс ^[12] заявляет: «Экспериментальный дизайн связан с сокращением времени и усилий, связанных с моделированием, путем определения информации, которая должна быть собрана при каждой репликации симуляции, сколько репликаций необходимо сделать и какие параметры модели изменяются. нужно сравнивать ". После того, как концептуальная модель была реализована в виде запрограммированной модели, DOE необходимо провести эксперименты и получить результаты моделирования наиболее своевременным и экономичным способом. Следующие ниже примеры демонстрируют ситуации, в которых РЗП можно использовать для важных выводов.

Пример 1

Рассмотрим пример производства перманентных маркеров, взятый из работы Брюера, Карравея и Инграма (2010). Специалисты в данной области (SME) выявили семь факторов, которые могут повлиять на качество маркера: количество чернил, содержание пропанола, содержание бутанола, содержание диацетона, качество контейнера, влажность и температура . Количество чернил, содержание пропанола, содержание бутанола, содержание диацетона и качество тары определяются производителем; влажность и температуру, которые легко контролировать в экспериментальных условиях, невозможно контролировать после того, как продукт покинул руки производителя. Даже если производитель заявляет, что температура маркера должна составлять от 35 до 80 градусов по Фаренгейту., потребители могут находиться в 90-градусной погоде или не обращать внимания на совет. Это изменение неконтролируемо и влияет на мнение потребителей о продукте; поэтому производитель хочет, чтобы продукт был устойчивым к колебаниям из-за температуры.

Для выполнения всевозможных комбинаций факторов потребуется 128 прогонов. Однако, разделив эту матрицу на части, влияние факторов можно увидеть в гораздо меньшем количестве прогонов. Следовательно, фракционирование менее затратно и требует меньше времени.

После создания RPD качество перманентного маркера проверяется в конце каждого прогона. Это пример моделирования в реальном времени, потому что для проверки качества маркера необходимо моделировать влажность и температуру в реальном мире. Компания по производству перманентных маркеров предпочитает имитировать высокие или низкие температуры и влажность, а не путешествовать в определенные места, где можно использовать маркер. Производитель экономит время и деньги и приближается к тому же эффекту, что и человек, использующий маркер в экстремальных погодных условиях или в других местах.

Пример 2

Представьте, что вас наняли в качестве менеджера магазина и вы хотите повысить эффективность труда. Вы заметили, что в любое время дня работает одинаковое количество людей, но магазин более загружен с полудня до 15:30 и пуст после 19:00. Вы не хотите рисковать быть недоукомплектованным персоналом, поэтому вы выбираете моделирование различных сценариев, чтобы определить лучшее решение для планирования. Факторы управления, влияющие на оптимальность расписания, могут включать количество людей в смену, тогда как неконтролируемые факторы могут включать погоду и транспортный поток.

Конструктивная модель применяется для понимания стоящей перед нами дилеммы, а RPD - это метод, используемый для определения настроек факторов управления, которые нам нужны, чтобы минимизировать влияние факторов шума. Другими словами, можно использовать RPD, чтобы определить, сколько людей нужно в каждую смену, чтобы в магазине не было недостатка или избытка персонала независимо от погодных условий или потока движения.

Анализируя

Поскольку RPD так тесно связаны с FFD, могут применяться те же методы анализа. ANOVA можно использовать для определения значимых факторов. По центральным точкам можно определить наличие кривизны. Во многих пакетах статистического программного обеспечения есть сохраненные и готовые к анализу планы разбиения графиков. RPD - это дизайн скрининга, который часто используется для уменьшения количества факторов, которые, как считается, влияют на ответ.

использованная литература

дальнейшее чтение

• Box, GEP, (1988), Отношение сигнал / шум, критерии производительности и преобразования (с обсуждением), Technometrics, 30 1-40.
• Box, GEP, Hunter, WG, and Hunter, JS (1978), Статистика для экспериментаторов . Вайли.
• Кастильо, Э. (2007), Оптимизация процессов: статистический подход . Springer.
• Дэн, Л. Я. и Тан, Б. (1999), Обобщенное разрешение и критерии минимальной аберрации для планов Плакетта-Бермана и других нерегулярных факторных планов, Statistica Sinica, 9 1071-1082.
• Дэн, Л. Я. и Тан, Б. (2002), Выбор дизайна и классификация для матриц Адамара с использованием обобщенных критериев минимальной аберрации, Technometrics, 44 173-184.
• Лоусон, Дж. И Эрджавек, Дж. (2001), Современная статистика для разработки и повышения качества . Даксбери.
• Лёппки Дж. (2004 г.), Ранжирование нестандартных дизайнов. Диссертация, Университет Саймона Фрейзера.
• Новосад, С. и Ингрэм, Д. (2006), Оптимальные нерегулярные планы, обеспечивающие альтернативу регулярным дробно-факторным планам из 16 и 32 прогонов. Государственный университет Арканзаса, Государственный университет, АР.
• Пистон, Г. и Винн, HP (1996), Generalized Confounding with Gröbner Bases, Biometrika, 83 653-666.
• Тагучи, Г. (1986), Введение в качественную инженерию . Нью-Йорк: качественные ресурсы.
• Тан Б. и Дэн. LY (1999), Минимальная G2-аберрация для нерегулярных дробных факторных планов, «Анналы статистики» , 27, 1914-1926 гг.
• Уайли А. и Ингрэм Д. (2007), Выявление сложных шаблонов совмещения некоторых нестандартных конструкций. Диссертация с отличием, Государственный университет Арканзаса, Государственный университет, АР.