В математике, особенно в аддитивной теории чисел , теорема Романова - это математическая теорема, доказанная Николаем Павловичем Романовым. Он утверждает, что при фиксированном основании b набор чисел, являющихся суммой простого числа и положительной целой степени числа b, имеет положительную нижнюю асимптотическую плотность .
Тип | Теорема |
---|---|
Поле | Аддитивная теория чисел |
Предполагается | Альфонс де Полиньяк |
Предполагается в | 1849 г. |
Первое доказательство | Николай Павлович Романов |
Первое доказательство в | 1934 г. |
Заявление
Первоначально Романов заявил, что он доказал утверждения: «In jedem Intervall (0, x) liegen mehr als ax Zahlen, welche als Summe von einer Primzahl und einer k-ten Potenz einer ganzen Zahl darstellbar sind, wo a eine gewisse positive, nur von k abhängige Konstante bedeutet "и" In jedem Intervall (0, x) liegen mehr als bx Zahlen, weiche als Summe von einer Primzahl und einer Potenz von a darstellbar sind. Hier ist a eine gegebene ganze Zahl und eine Positive von a abhängt ". [1] Эти утверждения переводятся как «В каждом интервале есть более чем числа, которые могут быть представлены как сумма простого числа и k-й степени целого числа, где- некоторая положительная константа, которая зависит только от k "и" В каждом интервале есть более чем числа, которые можно представить как сумму простого числа и степени a . Здесь a - заданное целое число, аявляется положительная константа , которая зависит только от более "соответственно. Второе утверждение , как правило , принимается в качестве теоремы Романовых, например , в книге Натансона в. [2]
Именно пусть и разреши , . Тогда теорема Романова утверждает, что. [3]
История
Альфонс де Полиньяк писал в 1849 году, что каждое нечетное число больше 3 может быть записано как сумма нечетного простого числа и степени 2. (Вскоре он заметил контрпример, а именно 959.) [4] Это соответствует случаю числав исходном заявлении. Контрпример 959 был, по сути, также упоминается в Euler письма «s к Гольдбам , [5] , но они работали в направлении , противоположном, пытаясь найти нечетные числа , которые не могут быть выражены в форме.
В 1934 году Романов доказал теорему. Положительная постоянная упомянутый в деле позже была известна как постоянная Романова . [6] Различные оценки константы, а также, было изготовлено. История таких доработок приведена ниже. [3] В частности, поскольку показано, что оно меньше 0,5, это означает, что нечетные числа, которые не могут быть выражены таким образом, имеют положительную нижнюю асимптотическую плотность.
Год | Нижняя граница | Верхняя граница | Прувер | Заметки |
---|---|---|---|---|
1950 | [а] | Пол Эрдёш | ; [7] Первое доказательство бесконечного числа нечетных чисел, не имеющих видачерез явную арифметическую прогрессию | |
2004 г. | 0,0868 | Чен, Сюнь | [8] | |
2006 г. | 0,0933 | 0,49094093 [b] | Хабсигер, Роблот | ; [9] Учитываются только нечетные числа; неточно, см. примечание |
2006 г. | 0,093626 | Пинц | ; [6] изначально оказался 0,9367, но была обнаружена ошибка, и ее исправление дало 0,093626. | |
2010 г. | 0,0936275 | Habsieger, Sivak-Fischler | [10] | |
2018 г. | 0,107648 | Эльсхольц, Шлаге-Пухта |
Обобщения
Аналогичные результаты теоремы Романова были доказаны в числовых полях Ригелем в 1961 году. [11] В 2015 году теорема была также доказана для многочленов от конечных полей. [12] Также в 2015 году дается арифметическая прогрессия гауссовских целых чисел , которые не могут быть выражены как сумма гауссовского простого числа и степени 1 + i . [13]
Рекомендации
- ^ Romanoff, NP (1934-12-01). "Über einige Sätze der addn Zahlentheorie". Mathematische Annalen (на немецком языке). 109 (1): 668–678. DOI : 10.1007 / BF01449161 . ISSN 1432-1807 .
- ^ Натансон, Мелвин Б. (14 марта 2013 г.). Аддитивная теория чисел Классические основы . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-3845-2.
- ^ а б Эльшольц, Кристиан; Шлаге-Пухта, Ян-Кристоф (2018-04-01). «О постоянной Романове». Mathematische Zeitschrift . 288 (3): 713–724. DOI : 10.1007 / s00209-017-1908-х . ISSN 1432-1823 .
- ^ де Полиньяк, А. (1849). "Recherches nouvelles sur les nombres premiers" [Новое исследование простых чисел]. Comptes rendus (на французском). 29 : 397–401.
- ^ Л. Эйлер, Письмо Гольдбаху . 16-12-1752.
- ^ а б Пинц, Янош (01.07.2006). «Записка о постоянной Романова». Acta Mathematica Hungarica . 112 (1): 1–14. DOI : 10.1007 / s10474-006-0060-6 . ISSN 1588-2632 .
- ^ Эрдеш, Пол (1950). "О целых числах формы 2 k + п {\ displaystyle 2 ^ {k} + p} и некоторые связанные с этим проблемы » (PDF) . Summa Brasiliensis Mathematicae . 2 : 113–125. Архивировано из оригинала (PDF) 28 февраля 2019 г.
- ^ Чен, Юн-Гао; Сунь, Сюэ-Гун (01.06.2004). «О константе Романова» . Журнал теории чисел . 106 (2): 275–284. DOI : 10.1016 / j.jnt.2003.11.009 . ISSN 0022-314X .
- ^ Habsieger, Laurent; Роблот, Ксавье-Франсуа (2006). "О целых числах вида п + 2 k {\ displaystyle p + 2 ^ {k}} " . Acta Арифметика . 1 :. 45-50 DOI : 10,4064 / aa122-1-4 .
- ^ Habsieger, Laurent; Сивак-Фишлер, Химена (01.12.2010). «Эффективная версия теоремы Бомбьери – Виноградова и приложения к теореме Чена и к суммам простых чисел и степеней двойки». Archiv der Mathematik . 95 (6): 557–566. DOI : 10.1007 / s00013-010-0202-5 . ISSN 1420-8938 .
- ^ Ригер, GJ (1961-02-01). "Verallgemeinerung zweier Sätze von Romanov aus der addn Zahlentheorie". Mathematische Annalen (на немецком языке). 144 (1): 49–55. DOI : 10.1007 / BF01396540 . ISSN 1432-1807 .
- ^ Шпарлинский, Игорь Е .; Вайнгартнер, Андреас Дж. (30 октября 2015 г.). «Явный полиномиальный аналог теоремы Романова». arXiv : 1510.08991 [ math.NT ].
- ^ Madritsch, Manfred G .; Планицер, Стефан (2018-01-08). «Теорема Романова в числовых полях». arXiv : 1512.04869 [ math.NT ].