Полиномы Романовского

В математике , то многочлены Романовских являются одним из трех конечных подмножеств вещественных ортогональных многочленов , обнаруженных Всеволод Романовского ^[1] (Романовский во французской транскрипции) в контексте функций распределения вероятностей в статистике. Они образуют ортогональное подмножество более общего семейства малоизвестных полиномов Рауса, введенного Эдвардом Джоном Раусом ^[2] в 1884 году. Термин полиномы Романовского был предложен Рапозо ^[3] со ссылкой на так называемые «псевдо-полиномы». Многочлены Якоби в классификационной схеме Лески. ^[4] Кажется более логичным называть ихМногочлены Романовского – Рауса , по аналогии с терминами Романовского – Бесселя и Романовского – Якоби, использованными Лески для двух других наборов ортогональных многочленов.

В некотором отличие от стандартных классических ортогональных многочленов рассматриваемые многочлены отличаются тем, что для произвольных параметров только конечное число из них ортогонально , как более подробно обсуждается ниже.

Дифференциальное уравнение для многочленов Романовского [ править ]

Полиномы Романовского решают следующую версию гипергеометрического дифференциального уравнения

${\displaystyle {\begin{aligned}&s(x){R_{n}^{(\alpha ,\beta )}}''(x)+t_{1}^{(\alpha ,\beta )}(x){R_{n}^{(\alpha ,\beta )}}'(x)+\lambda _{n}R_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=0,\\[4pt]&\qquad x\in (-\infty ,+\infty ),\quad s(x)=\left(1+x^{2}\right),\quad t_{1}^{(\alpha ,\beta )}(x)=2\beta x+\alpha ,\quad \lambda _{n}=-n(2\beta +n-1).\end{aligned}}}$

( 1 )

Любопытно, что они были исключены из стандартных учебников по специальным функциям в математической физике ^{[5] [6]} и по математике ^{[7] [8]} и относительно редко встречаются в других местах математической литературы. ^{[9] [10] [11]}

Эти весовые функции являются

${\displaystyle w^{(\alpha ,\beta )}(x)=\left(1+x^{2}\right)^{\beta -1}\exp \left(-\alpha \operatorname {arccot} x\right);}$

( 2 )

они решают дифференциальное уравнение Пирсона

${\displaystyle [s(x)w(x)]'=t(x)w(x),\quad s(x)=1+x^{2},}$

( 3 )

что обеспечивает самосопряженность дифференциального оператора гипергеометрического обыкновенного дифференциального уравнения .

При α = 0 и β <0 весовая функция многочленов Романовского принимает форму распределения Коши , поэтому соответствующие многочлены также обозначаются как многочлены Коши ^[12] в их приложениях в теории случайных матриц. ^[13]

Формула Родригеса задает многочлен R^{( α , β )}
_n( x ) как

${\displaystyle R_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=N_{n}{\frac {1}{w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left(w^{(\alpha ,\beta )}(x)s(x)^{n}\right),\quad 0\leq n,}$

( 4 )

где N _n - нормировочная постоянная. Эта константа связана с коэффициентом c _n при члене степени n в полиноме R^{( α , β )}
_n( x ) выражением

${\displaystyle N_{n}={\frac {(-1)^{n}n!\,c_{n}}{\prod _{k=0}^{n-1}\lambda _{n}^{(k)}}},\quad \lambda _{n}=-n\left({t_{n}^{(\alpha ,\beta )}}'+{\tfrac {1}{2}}(n-1)s''(x)\right),}$

( 5 )

которое выполняется при n ≥ 1 .

Связь между полиномами Романовского и Якоби [ править ]

Как показал Аски, эта конечная последовательность действительных ортогональных многочленов может быть выражена в терминах многочленов Якоби мнимого аргумента и поэтому часто упоминается как комплексифицированные многочлены Якоби. ^[14] А именно, уравнение Романовского ( 1 ) может быть формально получено из уравнения Якоби, ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1-x^{2}\right){P_{n}^{(\gamma ,\delta )}}''(x)+t_{1}^{(\gamma ,\delta )}(x){P_{n}^{(\gamma ,\delta )}}'(x)+\lambda _{n}P_{n}^{(\gamma ,\delta )}(x)=0,\\[4pt]&\qquad t_{1}^{(\gamma ,\delta )}(x)=\delta -\gamma -(\gamma +\delta +2)x,\quad \lambda _{n}=n(n+\gamma +\delta +1),\quad x\in \left[-1,1\right],\end{aligned}}}$

( 6 )

через замены для действительного x ,

${\displaystyle x\to ix,\quad {\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}\to -i{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}},\quad \gamma =\delta ^{\ast }=\beta -1+{\frac {\alpha i}{2}},}$

( 7 )

в этом случае можно найти

${\displaystyle R_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=i^{n}P_{n}^{\left(\beta -1+{\frac {i}{2}}\alpha ,\beta -1-{\frac {i}{2}}\alpha \right)}(ix),}$

( 8 )

(с подходящим образом подобранными нормировочными константами для полиномов Якоби). Комплексные полиномы Якоби справа определены через (1.1) в Kuijlaars et al. (2003) ^[16], который гарантирует, что ( 8 ) являются действительными многочленами от x. Поскольку цитируемые авторы обсуждают условия неэрмитовой (комплексной) ортогональности только для реальных индексов Якоби, совпадение их анализа с определением ( 8 ) полиномов Романовского существует только при α = 0. Однако рассмотрение этого особого случая требует более тщательного изучения, помимо прочего. пределы этой статьи. Обратите внимание на обратимость ( 8 ) согласно

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(-i)^{n}R_{n}^{\left(i(\alpha -\beta ),{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )+1)\right)}(-ix),}$

( 9 )

где теперь P^{( α , β )}
_n( x ) - действительный многочлен Якоби и

${\displaystyle R_{n}^{\left(i(\alpha -\beta ),{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )+1)\right)}(-ix)}$

будет комплексным многочленом Романовского.

Свойства многочленов Романовского [ править ]

Явное построение [ править ]

Для вещественных α , β и n = 0, 1, 2, ... функция R^{( α , β )}
_n( x ) можно определить по формуле Родригеса в уравнении ( 4 ) как

${\displaystyle R_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\equiv {\frac {1}{w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\left(w^{(\alpha ,\beta )}(x)s(x)^{n}\right),}$

( 10 )

где w ^{( α , β )} - та же весовая функция, что и в ( 2 ), а s ( x ) = 1 + x ² - коэффициент при второй производной гипергеометрического дифференциального уравнения, как в ( 1 ).

Обратите внимание, что мы выбрали константы нормировки N _n = 1 , что эквивалентно выбору коэффициента наивысшей степени в полиноме, как задано уравнением ( 5 ). Это принимает форму

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{n!}}\prod _{k=0}^{n-1}{\bigl (}2\beta (n-k)+n(n-1)-k(k-1){\bigr )},\quad n\geq 1.}$

( 11 )

Также отметим , что коэффициент с _п не зависит от параметра & alpha ; , но только на р , а для конкретных значений & beta ; , с _п исчезает (т.е. для всех значений

${\displaystyle \beta ={\frac {k(k-1)-n(n-1)}{2(n-k)}}}$

где k = 0, ..., n - 1 ). Это наблюдение создает проблему, о которой говорится ниже.

Для дальнейшего использования мы явно выписываем многочлены степени 0, 1 и 2:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{0}^{(\alpha ,\beta )}(x)&=1,\\[6pt]R_{1}^{(\alpha ,\beta )}(x)&={\frac {1}{w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}\left(w'^{(\alpha ,\beta )}(x)s(x)+s'(x)w^{(\alpha ,\beta )}(x)\right)\\[6pt]&=t^{(\alpha ,\beta )}(x)=2\beta x+\alpha ,\\[6pt]R_{2}^{(\alpha ,\beta )}(x)&={\frac {1}{w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}\left(s^{2}(x)w'^{(\alpha ,\beta )}(x)+2s(x)s'(x)w^{(\alpha ,\beta )}(x)\right)\\&={\frac {1}{w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}\left(s(x)w^{(\alpha ,\beta )}(x)\left(t^{(\alpha ,\beta )}(x)+s'(x)\right)\right)\\[6pt]&=\left(2x+t^{(\alpha ,\beta )}(x)\right)t^{(\alpha ,\beta )}(x)+\left(2+t'^{(\alpha ,\beta )}(x)\right)s(x)\\[6pt]&=(2\beta +1)(2\beta +2)x^{2}+2(2\beta +1)\alpha x+\left(2\beta +\alpha ^{2}+2\right),\end{aligned}}}$

которые выводятся из формулы Родригеса ( 10 ) в сочетании с ОДУ Пирсона ( 3 ).

Ортогональность [ править ]

Два полинома R^{( α , β )}
_м( x ) и R^{( α , β )}
_n( x ) с m ≠ n , ортогональны, ^[3]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }w^{(\alpha ,\beta )}(x)R_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)R_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=0}$

( 12 )

если и только если,

${\displaystyle m+n<1-2\beta .}$

( 13 )

Другими словами, для произвольных параметров только конечное число полиномов Романовского ортогонально. Это свойство называется конечной ортогональностью . Однако для некоторых частных случаев, в которых параметры определенным образом зависят от полиномиальной степени, может быть достигнута бесконечная ортогональность.

Это случай версии уравнения ( 1 ), которая была вновь независимо встречена в контексте точной разрешимости квантово-механической проблемы тригонометрического потенциала Розена – Морса и описана в Compean & Kirchbach (2006). ^[17] Здесь параметры полинома α и β больше не являются произвольными, а выражаются через потенциальные параметры a и b и степень n полинома в соответствии с соотношениями,

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \to \alpha _{n}={\frac {2b}{n+1+a}},\quad \beta \to \beta _{n}=-(a+n+1)+1,\quad n=0,1,2,\ldots ,\infty .\end{aligned}}}$

( 14 )

Соответственно, λ _п возникает как Х _п = - п (2 а + п - 1) , в то время как функция веса принимает форму

${\displaystyle \left(1+x^{2}\right)^{-(a+n+1)}\exp \left(-{\frac {2b}{n+a+1}}\operatorname {arccot} x\right).}$

Наконец, одномерная переменная x в Compean & Kirchbach (2006) ^[17] была взята как

${\displaystyle x=\cot \left({\frac {r}{d}}\right),}$

где r - радиальное расстояние, а - соответствующий параметр длины. В Compean & Kirchbach ^[17] было показано, что семейство многочленов Романовского, соответствующее бесконечной последовательности пар параметров, ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \left(\alpha _{1},\beta _{1}\right),\left(\alpha _{2}\beta _{2}\right),\ldots ,\left(\alpha _{n}\beta _{n}\right),\ldots ,\quad n\longrightarrow \infty ,}$

( 15 )

ортогонален.

Функция генерации [ править ]

В Вебере (2007) ^[18] многочлены Q^{( α _n , β _n + n )}
_ν( x ) , где β _n + n = - a , и дополнительная к R^{( α _n , β _n )}
_n( x ) были изучены, сформированы следующим образом:

${\displaystyle Q_{\nu }^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n\right)}(x)={\frac {1}{w^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}}}{\frac {{\mathrm {d} }^{\nu }}{{\mathrm {d} }x^{\nu }}}w^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}\right)}(x)\left(1+x^{2}\right)^{n}.}$

( 16 )

Учитывая соотношение,

${\displaystyle w^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}\right)}(x)\left(1+x^{2}\right)^{\delta }=w^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+\delta \right)}(x),}$

( 17 )

Уравнение ( 16 ) становится эквивалентным

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{\nu }^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n\right)}(x)&={\frac {1}{w^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}}}{\frac {{\mathrm {d} }^{\nu }}{{\mathrm {d} }x^{\nu }}}w^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}(x)\left(1+x^{2}\right)^{\nu }\\[4pt]&=R_{\nu }^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}(x),\end{aligned}}}$

( 18 )

и таким образом связывает дополнительные с главными многочленами Романовского.

Основная привлекательность дополнительных многочленов заключается в том, что их производящая функция может быть вычислена в замкнутой форме. ^[19] Такая производящая функция , записанная для полиномов Романовского на основе уравнения ( 18 ) с параметрами в ( 14 ) и, следовательно, относящаяся к бесконечной ортогональности, была введена как

${\displaystyle G^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}\right)}(x,y)=\sum _{\nu =0}^{\infty }R_{\nu }^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}(x){\frac {y^{\nu }}{\nu !}}.}$

( 19 )

Обозначения различия между Weber ^[18] и используемыми здесь резюмируются следующим образом:

• G ^{( α _n , β _n )} ( x , y ) здесь по сравнению с Q ( x , y ; α , - a ) там, α там вместо α _n здесь,
• a = - β _n - n и
• Q^{( α , - а )}
  _ν( x ) в уравнении (15) Вебера ^[18], соответствующем R^{( α _n , β _n + n - ν )}
  _ν( x ) здесь.

Обсуждаемая производящая функция, полученная Вебером ^[18], теперь имеет следующий вид:

${\displaystyle G^{(\alpha _{n},\beta _{n})}(x,y)=\left(1+x^{2}\right)^{-\beta _{n}-n+1}\exp \left(\alpha _{n}\operatorname {arccot} x\right)\left(1+\left(x+y\left(1+x^{2}\right)\right)^{2}\right)^{-\left(-\beta _{n}-n+1\right)}\exp \left(-\alpha _{n}\operatorname {arccot} \left(x+y\left(1+x^{2}\right)\right)\right.}$

( 20 )

Отношения повторения [ править ]

Рекуррентные соотношения между бесконечным ортогональным рядом многочленов Романовского с параметрами в приведенных выше уравнениях ( 14 ) следуют из производящей функции , ^[18]

${\displaystyle \nu {\bigl (}\nu +1-2(\beta _{n}+n){\bigr )}R_{\nu -1}^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu +1\right)}(x)+{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}R_{\nu }^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}(x)=0,}$

( 21 )

а также

${\displaystyle R_{\nu +1}^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu -1\right)}(x)={\bigl (}\alpha _{n}-2x(-\beta _{n}-n+\nu +1){\bigr )}R_{\nu }^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}-\nu \left(1+x^{2}\right){\bigl (}2(-\beta _{n}-n)+\nu +1{\bigr )}R_{\nu -1}^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu +1\right)},}$

( 22 )

как уравнения (10) и (23) Вебера (2007) ^[18] соответственно.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]