Уравнение Шамеля

Уравнение Шамеля (S-уравнение) представляет собой нелинейное уравнение в частных производных первого порядка по времени и третьего порядка по пространству. Подобно уравнению Кортевега де Фриза (KdV), ^[1] оно описывает развитие локализованной когерентной волновой структуры, которая распространяется в нелинейной диспергирующей среде. Впервые он был выведен в 1973 году Гансом Шамелем ^[2] для описания эффектов захвата электронов в области потенциала уединенной электростатической волновой структуры, распространяющейся с ионно-акустической скоростью в двухкомпонентной плазме. Теперь это применимо к различной локальной динамике пульса, такой как:

• электронные и ионные дырки или вихри фазового пространства в плазме без столкновений, такой как космическая плазма, ^[3]
• осесимметричное распространение импульса в физически жестких нелинейных цилиндрических оболочках, ^[4]
• «Солитонное» распространение в нелинейных линиях передачи ^[5] или в волоконной оптике и лазерной физике. ^[6]

Уравнение [ править ]

Уравнение Шамеля ^[2]

${\ displaystyle \ phi _ {t} + (1 + b {\ sqrt {\ phi}}) \ phi _ {x} + \ phi _ {xxx} = 0,}$

где стоит . В случае ионно-акустических уединенных волн параметр отражает влияние электронов, захваченных во впадине электростатического потенциала . Он задается выражением , где параметр захвата отражает состояние захваченных электронов, представляя стационарное распределение захваченных электронов с плоской вершиной, провал или впадину. Верно , где - амплитуда волны. Все величины нормированы: потенциальная энергия на тепловую энергию электрона, скорость на скорость звука иона, время на обратную плазменную частоту иона и пространство на длину Дебая электрона. Обратите внимание, что для уравнения КдФ заменяется таким, что нелинейность становится билинейной (см. Ниже).${\ Displaystyle \ phi _ {(т, х)}}$${\ Displaystyle \ partial _ {(т, х)} \ фи}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle b = {\ frac {1- \ beta} {\ sqrt {\ pi}}}}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ beta = 0}$${\ Displaystyle \ бета <0}$${\ Displaystyle 0 \ Leq \ Phi \ Leq \ psi \ ll 1}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle b {\ sqrt {\ phi}}}$${\ displaystyle \ phi}$

Решение уединенной волны [ править ]

Решение установившейся уединенной волны, задается в сопутствующей системе отсчета:${\ Displaystyle \ фи (х-v_ {0} т)}$

${\ displaystyle \ phi (x) = \ psi \ operatorname {sech} ^ {4} \ left ({\ sqrt {\ frac {b {\ sqrt {\ psi}}} {30}}} x \ right)}$

${\displaystyle v_{0}=1+{\frac {8}{15}}b{\sqrt {\psi }}.}$

Скорость структуры сверхзвуковая, так как она должна быть положительной , что в ионно-акустическом случае соответствует пониженному распределению захваченных электронов . ^{[2] [7]}${\displaystyle v_{0}>1}$${\displaystyle b}$${\displaystyle 0<b}$${\displaystyle \beta <1}$

Доказательство псевдопотенциальным методом [ править ]

Доказательство этого решения использует аналогию с помощью классической механики с , будучи соответствующим псевдо-потенциал. Отсюда получаем интегрированием: , который представляет собой псевдо-энергии, и из уравнения Schamel: . Через очевидный спрос, а именно , что в потенциальном максимуме, наклон от пропадает мы получаем: . Это нелинейное дисперсионное соотношение (NDR), поскольку оно определяет фазовую скорость, определяемую вторым выражением. Каноническая форма получается заменой на NDR. Это становится:
${\displaystyle \phi _{xx}=:-{\mathcal {V}}'(\phi )}$${\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi )}$${\displaystyle {\frac {\phi _{x}^{2}}{2}}+{\mathcal {V(\phi )}}=0}$${\displaystyle -{\mathcal {V}}(\phi )={\frac {(v_{0}-1)}{2}}\phi ^{2}-{\frac {4b}{15}}\phi ^{5/2}}$${\displaystyle \phi =\psi }$${\displaystyle \phi _{x}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\mathcal {V}}(\psi )=0}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi )}$${\displaystyle v_{0}}$

${\displaystyle -{\mathcal {V}}(\phi )={\frac {4}{15}}b\phi ^{2}({\sqrt {\psi }}-{\sqrt {\phi }}).}$

Использование этого выражения в , которое следует из закона псевдоэнергии, дает интегрированием:${\displaystyle x(\phi )=\int _{\phi }^{\psi }{\frac {d\xi }{\sqrt {-2{\mathcal {V}}(\xi )}}}}$

${\displaystyle x(\phi )={\sqrt {\frac {30}{b{\sqrt {\psi }}}}}\tanh ^{-1}\left({\sqrt {1-{\sqrt {\frac {\phi }{\psi }}}}}\right).}$

Это функция, обратная величине, указанной в первом уравнении. Обратите внимание, что интеграл в знаменателе существует и может быть выражен известными математическими функциями. Следовательно , это математически раскрытая функция. Однако структура часто остается математически нераскрытой, то есть ее нельзя выразить известными функциями (см., Например, раздел «Логарифмическое уравнение Шамеля»). Обычно это происходит, если задействовано более одного сценария захвата, например, в управляемой прерывистой плазменной турбулентности. ^[8]${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle x(\phi )}$${\displaystyle \phi (x)}$

Неинтегрируемость [ править ]

В отличие от уравнения КдФ, уравнение Шамеля является примером неинтегрируемого эволюционного уравнения. Он имеет только конечное число (полиномиальных) постоянных движения ^[9] и не проходит тест Пенлеве. ^{[4] [10]} Поскольку так называемой пары Лакса ( L , P ) не существует, ^[11] она не интегрируется с помощью обратного преобразования рассеяния. ^[12]

Обобщения [ править ]

Уравнение Шамеля – Кортевега де Фриза [ править ]

Принимая во внимание следующий порядок в выражении для расширенной электронной плотности, получаем , из которого получаем псевдопотенциал - . Соответствующее уравнение эволюции становится таким:${\displaystyle n_{e}=1+\phi -{\frac {4b}{3}}\phi ^{3/2}+{\frac {1}{2}}\phi ^{2}+\cdots }$${\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi )={\frac {8b}{15}}\phi ^{2}({\sqrt {\psi }}-{\sqrt {\phi }})+{\frac {1}{3}}\phi ^{2}(\psi -\phi )}$

${\displaystyle \phi _{t}+(1+b{\sqrt {\phi }}+\phi )\phi _{x}+\phi _{xxx}=0,}$

которое является уравнением Шамеля – Кортевега де Фриза.

Его решение в виде уединенных волн гласит ^[13]

${\displaystyle \phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{4}(y)\left[1+{\frac {1}{1+Q}}\tanh ^{2}(y)\right]^{-2}}$

с и . В зависимости от Q он имеет два предельных решения уединенной волны: Ибо мы находим уединенную волну Шамеля.${\displaystyle y={\frac {x}{2}}{\sqrt {\frac {\psi (1+Q)}{12}}}}$${\displaystyle Q={\frac {8b}{5{\sqrt {\psi }}}}}$${\displaystyle 1\ll Q}$${\displaystyle \phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{4}({\sqrt {\frac {b{\sqrt {\psi }}}{30}}}x)}$

Ибо мы получаем, что представляет собой обычный ионно-акустический солитон. Последний является жидким и достигается для или представляет собой изотермическое уравнение состояния электрона. Обратите внимание, что отсутствие эффекта захвата ( b  = 0) не означает отсутствие захвата, утверждение, которое обычно искажается в литературе, особенно в учебниках. Пока она не равна нулю, всегда существует отличная от нуля ширина захвата в пространстве скоростей для функции распределения электронов.${\displaystyle 1\gg Q}$${\displaystyle \phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{2}({\sqrt {\frac {\psi }{12}}}x)}$${\displaystyle b=0}$${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle 2{\sqrt {2\phi }}}$

Логарифмическое уравнение Шамеля [ править ]

Другое обобщение S-уравнения получается в случае ионно-звуковых волн за счет допуска второго канала захвата. Рассматривая дополнительный непертурбативный сценарий захвата, Шамель ^[8] получил:

${\displaystyle \qquad \qquad \phi _{t}+(1+b{\sqrt {\phi }}-D\ln \phi )\phi _{x}+\phi _{xxx}=0}$,

обобщение, называемое логарифмическим S-уравнением. В отсутствие нелинейности квадратного корня , она решается с помощью дырочного решения гауссовой формы: с и имеет сверхзвуковую фазовую скорость . Соответствующий псевдопотенциал определяется выражением . Отсюда следует, что является обратной функцией упомянутого гауссиана. Для ненулевого b, сохраняя , интеграл, который нужно получить, больше не может быть решен аналитически, то есть известными математическими функциями. Уединенная волновая структура все еще существует, но не может быть достигнута в раскрытом виде.${\displaystyle b=0}$${\displaystyle \phi (x)=\psi e^{Dx^{2}/4}}$${\displaystyle D<0}$
${\displaystyle v_{0}=1+D(\ln \psi -3/2)>1}$${\displaystyle -{\mathcal {V}}(\phi )=D{\frac {\phi ^{2}}{2}}\ln {\frac {\phi }{\psi }}}$${\displaystyle x(\phi )=2{\sqrt {-D\ln {\frac {\psi }{\phi }}}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x(\phi )}$

Уравнение Шамеля со случайными коэффициентами [ править ]

Тот факт, что электростатический захват включает в себя случайные процессы в резонансе, вызванные хаотическими траекториями частиц, привел к тому, что b в S-уравнении рассматривается как стохастическая величина. Это приводит к стохастическому S-уравнению типа Вика. ^{[14] [15]}

Дробное по времени уравнение Шамеля [ править ]

Дальнейшее обобщение получается заменой первой производной по времени дробной производной Рисса, что дает дробное по времени S-уравнение. ^{[16] [17] У} него есть приложения, например, для широкополосного электростатического шума, наблюдаемого спутником Viking. ^[17]

Уравнение Шамеля – Шредингера [ править ]

Связь между уравнением Шамеля и нелинейным уравнением Шредингера может быть установлена ​​в контексте жидкости Маделунга. ^[18] Это приводит к уравнению Шамеля-Шредингера. ^[6]

${\displaystyle i\phi _{t}+|\phi |^{1/2}\phi +\phi _{xx}=0}$

и имеет приложения в волоконной оптике ^[19] и лазерной физике. ^[20]

Веб-ссылки [ править ]

• www.hans-schamel.de  : дополнительная информация Ханса Шамеля

Ссылки [ править ]