Классическая теория поля

Классическая теория поля является физической теорией , которая предсказывает , как один или несколько физических поль взаимодействует с веществом через полевые уравнения . Термин «классическая теория поля» обычно используется для описания тех физических теорий, которые описывают электромагнетизм и гравитацию , две фундаментальные силы природы. Теории, включающие квантовую механику, называются квантовыми теориями поля .

Физическое поле можно рассматривать как присвоение физической величины в каждой точке пространства и времени . Например, в прогнозе погоды скорость ветра в течение дня над страной описывается путем присвоения вектора каждой точке в пространстве. Каждый вектор представляет направление движения воздуха в этой точке, поэтому набор всех векторов ветра в области в данный момент времени составляет векторное поле . С течением дня направления, в которых указывают векторы, изменяются вместе с изменением направления ветра.

Первые теории поля, ньютоновская гравитация и уравнения Максвелла для электромагнитных полей были разработаны в классической физике до появления теории относительности в 1905 году, и их пришлось пересмотреть, чтобы привести их в соответствие с этой теорией. Следовательно, классические теории поля обычно делятся на нерелятивистские и релятивистские . Современные теории поля обычно выражаются с помощью математики тензорного исчисления . Более поздний альтернативный математический формализм описывает классические поля как части математических объектов, называемых пучками волокон .

В 1839 году Джеймс МакКаллах представил уравнения поля для описания отражения и преломления в « Очерке динамической теории отражения и преломления кристаллов». ^[1]

Нерелятивистские теории поля [ править ]

Некоторые из простейших физических полей - векторные силовые поля. Исторически впервые поля были восприняты всерьез с помощью силовых линий Фарадея при описании электрического поля . Гравитационное поле было то аналогично описано.

Ньютоновская гравитация [ править ]

Первой полевой теорией гравитации была теория гравитации Ньютона, в которой взаимное взаимодействие двух масс подчиняется закону обратных квадратов . Это было очень полезно для предсказания движения планет вокруг Солнца.

Любое массивное тело M имеет гравитационное поле g, которое описывает его влияние на другие массивные тела. Гравитационное поле M в точке r в пространстве находится путем определения силы F, которую M оказывает на небольшую пробную массу m, находящуюся в точке r , и затем деления на m : ^[2]

${\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mathbf {F} (\ mathbf {r})} {m}}.}$

Предусматривая , что т намного меньше , чем М гарантирует , что присутствие м оказывает незначительное влияние на поведение М .

Согласно закону всемирного тяготения Ньютона , F ( r ) определяется выражением ^[2]

${\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = - {\ frac {GMm} {r ^ {2}}} {\ hat {\ mathbf {r}}},}$

где - единичный вектор, указывающий вдоль линии от M до m , а G - гравитационная постоянная Ньютона . Следовательно, гравитационное поле M равно ^[2]${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mathbf {F} (\ mathbf {r})} {m}} = - {\ frac {GM} {r ^ {2 }}} {\ hat {\ mathbf {r}}}.}$

Экспериментальное наблюдение, что инертная масса и гравитационная масса равны беспрецедентному уровню точности, приводит к идентификации силы гравитационного поля как идентичной ускорению, испытываемому частицей. Это отправная точка принципа эквивалентности , который ведет к общей теории относительности .

Для дискретного набора масс M _i , расположенных в точках r _i , гравитационное поле в точке r из-за масс равно

${\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - G \ sum _ {i} {\ frac {M_ {i} (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {i}})} { | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {i} | ^ {3}}} \ ,,}$

Если вместо этого у нас есть непрерывное распределение масс ρ , сумма заменяется интегралом,

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\iiint _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x} )d^{3}\mathbf {x} (\mathbf {r} -\mathbf {x} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {x} |^{3}}}\,,}$

Обратите внимание, что направление поля указывает от положения r к положению масс r _i ; это обеспечивается знаком минус. Короче говоря, это означает, что привлекаются все массы.

В интегральной форме закон Гаусса для гравитации имеет вид

${\displaystyle \iint \mathbf {g} \cdot d\mathbf {S} =-4\pi GM}$

в то время как в дифференциальной форме это

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho _{m}}$

Таким образом, гравитационное поле г можно записать в терминах градиента о наличии гравитационного потенциала ф ( г ):

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \phi (\mathbf {r} ).}$

Это является следствием гравитационной силы F будучи консервативным .

Электромагнетизм [ править ]

Электростатика [ править ]

Заряженная Пробная частица с зарядом д испытывает усилие F , основываясь исключительно на его заряд. Аналогичным образом можно описать электрическое поле Е , так что F = Q E . Используя это и закон Кулона, электрическое поле, создаваемое одной заряженной частицей, равно

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}\,.}$

Электрическое поле консервативно и, следовательно, определяется градиентом скалярного потенциала V ( r )

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} )\,.}$

Закон Гаусса для электричества имеет интегральную форму

${\displaystyle \iint \mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} ={\frac {q_{e}}{\epsilon _{0}}}}$

в то время как в дифференциальной форме

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{e}}{\epsilon _{0}}}\,.}$

Магнитостатика [ править ]

Постоянный ток I течет вдоль траектории л будет прикладывать силу на близлежащих заряженных частиц , которые количественно отличается от электрического поля силы , описанной выше. Сила, прилагаемая I к ближайшему заряду q со скоростью v, равна

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ),}$

где B ( r ) - магнитное поле , которое определяется из I по закону Био – Савара :

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int {\frac {d{\boldsymbol {\ell }}\times d{\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}.}$

Магнитное поле в целом неконсервативно и, следовательно, обычно не может быть записано в терминах скалярного потенциала. Тем не менее, она может быть записана в терминах векторного потенциала , ( г ):

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$

Закон Гаусса для магнетизма в интегральной форме имеет вид

${\displaystyle \iint \mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0,}$

в то время как в дифференциальной форме это

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0.}$

Физическая интерпретация состоит в том, что магнитных монополей не существует .

Электродинамика [ править ]

В общем, при наличии как плотности заряда ρ ( r , t ), так и плотности тока J ( r , t ), будет как электрическое, так и магнитное поле, и оба будут меняться во времени. Они определяются уравнениями Максвелла , набор дифференциальных уравнений , которые непосредственно связаны E и B к плотности электрического заряда (заряд на единицу объема) р и плотности тока (электрический ток на единицу площади) J . ^[3]

В качестве альтернативы, можно описать систему с точки зрения ее скалярного и векторного потенциалов V и A . Система интегральных уравнений, известная как запаздывающие потенциалы, позволяет вычислить V и A из ρ и J , ^{[примечание 1],} и отсюда электрическое и магнитное поля определяются с помощью соотношений ^[4]

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .}$

Механика сплошной среды [ править ]

Гидродинамика [ править ]

У гидродинамики есть поля давления, плотности и расхода, которые связаны законами сохранения энергии и количества движения. Уравнение неразрывности массы - это уравнение неразрывности, представляющее сохранение массы

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

а уравнения Навье – Стокса представляют собой сохранение количества движения в жидкости, полученное из законов Ньютона, примененных к жидкости,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \mathbf {b} }$

если заданы плотность ρ , давление p , тензор девиаторных напряжений τ жидкости, а также внешние объемные силы b . Поле скоростей u - это векторное поле, для которого необходимо найти решение.

Возможная теория [ править ]

Термин « теория потенциала » возник из-за того факта, что в физике XIX века фундаментальные силы природы считались производными от скалярных потенциалов, которые удовлетворяли уравнению Лапласа . Пуассон обратился к вопросу об устойчивости планетных орбит , который уже был решен Лагранжем в первой степени приближения по силам возмущения, и вывел уравнение Пуассона , названное в его честь. Общий вид этого уравнения:

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =\sigma }$

где σ - функция источника (как плотность, величина на единицу объема), а φ - скалярный потенциал, для которого необходимо найти.

В ньютоновской гравитации; массы являются источниками поля, так что силовые линии заканчиваются на объектах, обладающих массой. Точно так же заряды являются источниками и стоками электростатических полей: положительные заряды испускают силовые линии электрического поля, а силовые линии заканчиваются отрицательными зарядами. Эти концепции поля также иллюстрируются общей теоремой о расходимости , в частности, законом Гаусса для гравитации и электричества. Для случаев не зависящей от времени гравитации и электромагнетизма поля являются градиентами соответствующих потенциалов

${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi _{g}\,,\quad \mathbf {E} =-\nabla \phi _{e}}$

таким образом, подставляя их в закон Гаусса для каждого случая, получаем

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho _{g}\,,\quad \nabla ^{2}\phi =-{\rho _{e} \over \epsilon _{0}}}$

где ρ _g - массовая плотность, а ρ _e - плотность заряда .

Кстати, это сходство возникает из - за сходства между законом тяготения Ньютона и закон Кулона .

В случае отсутствия источника (например, вакуума или парных зарядов) эти потенциалы подчиняются уравнению Лапласа :

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0}$

Для распределения массы (или заряда) потенциал может быть разложен на серию сферических гармоник , а n- й член в серии может рассматриваться как потенциал, возникающий из 2 ^n- моментов (см. Мультипольное разложение ). Для многих целей в расчетах нужны только члены монополя, диполя и квадруполя.

Релятивистская теория поля [ править ]

Современные формулировки классических теорий поля обычно требуют лоренцевой ковариантности, поскольку теперь это признано фундаментальным аспектом природы. Теория поля обычно выражается математически с помощью лагранжианов . Это функция, которая, будучи подчиненной принципу действия , порождает уравнения поля и закон сохранения для теории. Действие является скаляром Лоренца, из которого уравнение поля и симметрии могут быть легко получены.

Повсюду мы используем такие единицы, что скорость света в вакууме равна 1, то есть c = 1. ^{[примечание 2]}

Лагранжева динамика [ править ]

Для тензора поля φ скаляр, называемый плотностью лагранжиана

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,\partial \partial \phi ,\ldots ,x)}$

можно построить из φ и его производных.

Из этой плотности можно построить функционал действия путем интегрирования по пространству-времени,

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {{\mathcal {L}}{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}.}$

Где форма объема в искривленном пространстве-времени.${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$${\displaystyle (g\equiv {\text{det}}(g_{\mu \nu }))}$

Следовательно, сам лагранжиан равен интегралу плотности лагранжиана по всему пространству.

Тогда, применяя принцип действия , получаем уравнения Эйлера – Лагранжа

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)+\cdots +(-1)^{m}\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\phi )}}\right)=0.}$

Релятивистские поля [ править ]

Теперь описаны две из наиболее известных лоренц-ковариантных классических теорий поля.

Электромагнетизм [ править ]

Исторически первыми (классическими) теориями поля были те, которые описывали электрическое и магнитное поля (по отдельности). После многочисленных экспериментов было обнаружено, что эти два поля связаны или, по сути, являются двумя аспектами одного и того же поля: электромагнитного поля . Теория электромагнетизма Максвелла описывает взаимодействие заряженной материи с электромагнитным полем. Первая формулировка этой теории поля использовала векторные поля для описания электрического и магнитного полей. С появлением специальной теории относительности более полная формулировка с использованием тензораполей не найдено. Вместо использования двух векторных полей, описывающих электрическое и магнитное поля, используется тензорное поле, представляющее эти два поля вместе.

Электромагнитный потенциал определяется как А _а = (- ф , А ), и электромагнитное четыре тока J _а = (- р , J ). Электромагнитное поле в любой точке пространства-времени описывается тензором антисимметричного (0,2) -рангового электромагнитного поля

${\displaystyle F_{ab}=\partial _{a}A_{b}-\partial _{b}A_{a}.}$

Лагранжиан [ править ]

Чтобы получить динамику для этого поля, мы пытаемся построить скаляр из поля. В вакууме мы имеем

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}\,.}$

Мы можем использовать калибровочную теорию поля, чтобы получить член взаимодействия, и это дает нам

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}-j^{a}A_{a}\,.}$

Уравнения [ править ]

Чтобы получить уравнения поля, электромагнитный тензор в плотности лагранжиана необходимо заменить его определением в терминах 4-потенциала A , и именно этот потенциал входит в уравнения Эйлера-Лагранжа. ЭМ поле F не изменяется в уравнениях ЭЛ. Следовательно,

${\displaystyle \partial _{b}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial _{b}A_{a}\right)}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}\,.}$

Вычисление производной плотности лагранжиана по компонентам поля

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}=\mu _{0}j^{a}\,,}$

и производные компонент поля

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{b}A_{a})}}=F^{ab}\,,}$

получает уравнения Максвелла в вакууме. Исходные уравнения (закон Гаусса для электричества и закон Максвелла-Ампера):

${\displaystyle \partial _{b}F^{ab}=\mu _{0}j^{a}\,.}$

в то время как два других (закон Гаусса для магнетизма и закон Фарадея) получены из того факта, что F является 4-ротором A , или, другими словами, из того факта, что тождество Бианки выполняется для тензора электромагнитного поля. ^[5]

${\displaystyle 6F_{[ab,c]}\,=F_{ab,c}+F_{ca,b}+F_{bc,a}=0.}$

где запятая указывает на частную производную .

Гравитация [ править ]

После того, как было обнаружено несовместимость ньютоновской гравитации со специальной теорией относительности , Альберт Эйнштейн сформулировал новую теорию гравитации, названную общей теорией относительности . Это рассматривает гравитацию как геометрическое явление («искривленное пространство - время »), вызванное массами, и математически представляет гравитационное поле с помощью тензорного поля, называемого метрическим тензором . В поле уравнение Эйнштейна описывает , как производится эта кривизна. Ньютоновская гравитация теперь заменена общей теорией относительности Эйнштейна , в которой гравитациясчитается, что это происходит из-за искривленного пространства-времени , вызванного массами. Полевые уравнения Эйнштейна,

${\displaystyle G_{ab}=\kappa T_{ab}}$

описывают, как эта кривизна создается веществом и излучением, где G _ab - тензор Эйнштейна ,

${\displaystyle G_{ab}\,=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}}$

записанный в терминах тензора Риччи R _ab и скаляра Риччи R = R _ab g ^ab , T _ab - тензор энергии-импульса, а κ = 8πG / c ⁴ - постоянная величина. При отсутствии вещества и излучения ( в том числе источников) в " вакуумных уравнений поля ,

${\displaystyle G_{ab}=0\,}$

можно получить, варьируя действие Эйнштейна – Гильберта ,

${\displaystyle S=\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$

по отношению к метрике, где г является определяющим из метрического тензора г ^аб . Решения уравнений вакуумного поля называются вакуумными решениями . Альтернативная интерпретация, предложенная Артуром Эддингтоном , заключается в том, что она является фундаментальной, является лишь одним аспектом и обусловлена ​​выбором единиц.${\displaystyle R}$${\displaystyle T}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \kappa }$

Попытки объединения [ править ]

Попытки создать единую теорию поля на основе классической физики являются классическими едиными теориями поля. В период между двумя мировыми войнами идея объединения гравитации с электромагнетизмом активно поддерживалась несколькими математиками и физиками, такими как Альберт Эйнштейн , Теодор Калуца , ^[6] Герман Вейл , ^[7] Артур Эддингтон , ^[8] Густав Ми ^{[ 9]} и Эрнст Райхенбахер. ^[10]

Ранние попытки создать такую ​​теорию были основаны на включении электромагнитных полей в геометрию общей теории относительности . В 1918 году случай первой геометризации электромагнитного поля был предложен в 1918 году Германом Вейлем. ^[11] В 1919 году идею пятимерного подхода предложил Теодор Калуца . ^{[11] На основе} этого была разработана теория под названием Теория Калуцы-Клейна . Он пытается объединить гравитацию и электромагнетизм в пятимерном пространстве-времени.. Эйнштейн и другие исследователи рассматривали несколько способов расширения представительных рамок единой теории поля. Эти расширения в целом основаны на двух вариантах. ^[11] Первый вариант основан на ослаблении условий, наложенных на исходную формулировку, а второй основан на введении в теорию других математических объектов. ^[11] Примером первого варианта является ослабление ограничений четырехмерного пространства-времени путем рассмотрения многомерных представлений. ^[11] Это используется в теории Калуцы-Клейна . Во-вторых, наиболее ярким примером является концепция аффинной связи, которая была введена вобщая теория относительности в основном благодаря работам Туллио Леви-Чивиты и Германа Вейля . ^[11]

Дальнейшее развитие квантовой теории поля сместило фокус поиска единой теории поля с классического на квантовое описание. Из-за этого многие физики-теоретики отказались от поиска классической единой теории поля. ^[11] Квантовая теория поля будет включать объединение двух других фундаментальных сил природы , сильного и слабого ядерных сил, действующих на субатомном уровне. ^{[12] [13]}

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

Источники [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Тиде, Бо . «Теория электромагнитного поля» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 17 сентября 2003 года . Проверено 14 февраля 2006 года .
• Кэрролл, Шон М. (1997). «Конспект лекций по общей теории относительности». arXiv : gr-qc / 9712019 . Bibcode : 1997gr.qc .... 12019C . Cite journal requires |journal= (help)
• Бинни, Джеймс Дж. «Лекционные заметки по классическим областям» (PDF) . Проверено 30 апреля 2007 года .
• Сарданашвили, Г. (ноябрь 2008 г.). «Продвинутая классическая теория поля». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 5 (7): 1163–1189. arXiv : 0811.0331 . Bibcode : 2008IJGMM..05.1163S . DOI : 10.1142 / S0219887808003247 . ISBN 978-981-283-895-7. S2CID  13884729 .