Софинальность

В математике , особенно в теории порядка , то конфинальности ср ( ) из частично упорядоченного множества А является наименьшим из мощностей этих конфинальных подмножеств A .

Это определение кофинальности опирается на аксиому выбора , поскольку оно использует тот факт, что каждое непустое множество кардинальных чисел имеет наименьший член. В качестве альтернативы конфинальность частично упорядоченного множества A может быть определена как наименьший порядковый номер x , при котором существует функция от x до A с окончательным образом . Это второе определение имеет смысл без аксиомы выбора. Если принять аксиому выбора, как будет в остальной части этой статьи, то эти два определения эквивалентны.

Конфинальность может быть определена аналогично для ориентированного множества и используется для обобщения понятия подпоследовательности в сети .

Примеры [ править ]

Конфинальность частично упорядоченного набора с наибольшим элементом равна 1, поскольку набор, состоящий только из наибольшего элемента, является конфинальным (и должен содержаться в каждом другом конфинальном подмножестве).
- В частности, конфинальность любого ненулевого конечного ординала или любого конечного ориентированного множества равна 1, поскольку такие множества имеют наибольший элемент.
Каждое конфинальное подмножество частично упорядоченного множества должно содержать все максимальные элементы этого множества. Таким образом, конфинальность конечного частично упорядоченного множества равна количеству его максимальных элементов.
- В частности, пусть A будет набором размера n , и рассмотрим набор подмножеств A, содержащий не более m элементов. Это частично упорядочено по включению, и подмножества из m элементов максимальны. Таким образом, конфинальность этого чугуна равна n select m .
Подмножество натуральных чисел N конфинально в N тогда и только тогда, когда оно бесконечно, и поэтому конфинальность ℵ ₀ равна ℵ ₀ . Таким образом, ℵ ₀ - правильный кардинал .
Конфинальность из действительных чисел с их обычным упорядочением ℵ ₀ , так как N конфинален в R . Обычный порядок R не заказ изоморфными к с , на мощность действительных чисел , которая имеет конфинальность строго больше ℵ ₀ . Это демонстрирует, что конфинальность зависит от порядка; разные заказы в одном наборе могут иметь разную окончательность.

Свойства [ править ]

Если допускает упорядоченное конфинальное подмножество, то мы можем найти подмножество B , которое хорошо упорядоченные и конфинален в A . Любое подмножество B также хорошо упорядочено. Два конфинальных подмножества B с минимальной мощностью (т. Е. Их мощность является конфинальностью B ) не обязательно должны быть изоморфны по порядку (например, если , то оба и рассматриваемые как подмножества B имеют счетную мощность конфинальности B, но не изоморфны по порядку. .) Но конфинальные подмножества B с типом минимального порядка будут изоморфны по порядку. ${\ displaystyle B = \ omega + \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega + \ omega}$ ${\ displaystyle \ {\ omega + n: n <\ omega \}}$

Конечность ординалов и других упорядоченных множеств [ править ]

Конфинальность порядковым альфа является наименьшим порядковым δ , который является типом заказа из конфинальной подмножества из & alpha ; . Конфинальность набора ординалов или любого другого хорошо упорядоченного набора - это конфинальность типа заказа этого набора.

Таким образом, для предельного ординала α существует δ-индексированная строго возрастающая последовательность с пределом α. Например, конфинальность ω² равна ω, потому что последовательность ω · m (где m пробегает натуральные числа) стремится к ω²; но, вообще говоря, любой счетный предельный ординал имеет конфинальность ω. Несчетный предельный ординал может иметь либо конфинальность ω, как и ω _ω, либо несчетную конфинальность.

Конфинальность 0 равна 0. Конфинальность любого последующего ординала равна 1. Конфинальность любого ненулевого предельного ординала является бесконечным регулярным кардиналом.

Обычные и единственные порядковые числа [ править ]

Регулярные порядковый порядковый , которая равна его конфинальность. Особые порядковый любой порядковый , которое не является регулярным.

Каждый правильный ординал - это начальный ординал кардинала. Любой предел регулярных порядковых чисел является пределом начальных порядковых номеров и, следовательно, также является начальным, но не обязательно должен быть регулярным. Если предположить аксиому выбора, регулярна для каждого α. В этом случае, ординалы 0, 1, , и являются регулярными, в то время как 2, 3, и ш _{ш · 2} начальные порядковые , которые не являются регулярными. ${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha +1}}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {2}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ omega}}$

Конфинальность любого ординала α является правильным ординалом, т. Е. Конфинальность конфинальности α такая же, как конфинальность α . Таким образом, операция конфинальности идемпотентна .

Софинальность кардиналов [ править ]

Если κ - бесконечное кардинальное число, то cf (κ) - наименьший кардинал такой, что существует неограниченная функция из cf (κ) в κ; cf (κ) - это также мощность наименьшего набора строго меньших кардиналов, сумма которых равна κ; точнее

{\ displaystyle \ mathrm {cf} (\ kappa) = \ min \ left \ {| I | \: \ \ kappa = \ sum _ {i \ in I} \ lambda _ {i} \ \ land \ \ forall i , \ lambda _ {i} <\ kappa \ right \}}

Непустота приведенного выше набора объясняется тем фактом, что

{\ Displaystyle \ каппа = \ bigcup _ {я \ ин \ каппа} \ {я \}}

т.е. несвязное объединение κ одноэлементных множеств. Отсюда сразу следует, что cf (κ) ≤ κ. Конфинальность любого полностью упорядоченного множества регулярна, поэтому cf (κ) = cf (cf (κ)).

Используя теорему Кенига , можно доказать κ <κ ^{cf (κ)} и κ <cf (2 ^κ ) для любого бесконечного кардинала κ.

Последнее неравенство означает, что конфинальность мощности континуума должна быть несчетной. С другой стороны,

\aleph _{\omega }=\bigcup _{n<\omega }\aleph _{n}

.

порядковое число ω является первым бесконечным порядковым номером, так что конфинальность - card (ω) = . (В частности, является сингулярным.) Следовательно, $\aleph _{\omega }$ $\aleph _{0}$ $\aleph _{\omega }$

2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega }.

(Сравните с гипотезой континуума , в которой говорится .) $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$

Обобщая это рассуждение, можно доказать, что для предельного ординала δ

\mathrm {cf} (\aleph _{\delta })=\mathrm {cf} (\delta )

.

С другой стороны, если аксиома выбора верна, то для последователя или нулевого ординала δ

\mathrm {cf} (\aleph _{\delta })=\aleph _{\delta }

.

См. Также [ править ]

Начальный порядковый номер

Ссылки [ править ]

Jech, Thomas, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Springer. ISBN 3-540-44085-2 .
Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9 .