В теории множеств , регулярный кардинал является кардинальным числом , равный его собственной конфинальности . Более явно это означает, что является правильным кардиналом тогда и только тогда, когда каждое неограниченное подмножество имеет мощность . Бесконечные упорядоченные кардиналы, которые не являются регулярными, называются единичными кардиналами . Конечные кардинальные числа обычно не называют правильными или единственными.
При наличии выбранной аксиомы любое кардинальное число может быть хорошо упорядочено , и тогда следующие значения эквивалентны для кардинала:
- обычный кардинал.
- Если а также для всех , тогда .
- Если , и если а также для всех , тогда .
- категории наборов мощности меньше, чем и все функции между ними закрываются копределами мощности меньше, чем.
Грубо говоря, это означает, что обычный кардинал не может быть разбит на небольшое количество более мелких частей.
Ситуация немного сложнее в контекстах, где аксиома выбора может потерпеть неудачу, поскольку в этом случае не все кардиналы обязательно являются мощностями хорошо упорядоченных множеств. В этом случае указанная выше эквивалентность сохраняется только для хорошо упорядочиваемых кардиналов.
Бесконечный порядковый является обычным порядковым номером, если это предельный порядковый номер, который не является пределом набора меньших порядковых номеров, который как набор имеет тип заказа меньше, чем. Обычный порядковый номер всегда является начальным порядковым номером , хотя некоторые начальные порядковые номера не являются правильными, например, (см. пример ниже).
Примеры
Порядковые номера меньше конечны. Конечная последовательность конечных ординалов всегда имеет конечный максимум, поэтому не может быть пределом любой последовательности типа меньше чем чьи элементы являются порядковыми номерами меньше, чем , и поэтому является обычным порядковым номером. ( aleph-null ) является обычным кардиналом, потому что его начальный порядковый номер,, регулярно. Также можно непосредственно увидеть, что он является регулярным, поскольку кардинальная сумма конечного числа конечных кардинальных чисел сама конечна.
является следующий порядковый номер больше. Это единственное число, так как это не предельный ординал. это следующий порядковый номер предела после . Его можно записать как предел последовательности, , , , и так далее. Эта последовательность имеет тип заказа, так предел последовательности типа меньше, чем чьи элементы являются порядковыми номерами меньше, чем ; поэтому это единственное число.
является следующий кардинальное число больше, поэтому кардиналы меньше являются счетными (конечным или счетным). Принимая аксиому выбора, объединение счетного множества счетных множеств само является счетным. Так не может быть записан как сумма счетного множества счетных количественных чисел и является регулярным.
это следующее количественное число после последовательности , , , , и так далее. Его начальный порядковый номер предел последовательности , , , и т. д. с типом заказа , так является особенным, и так же . Принимая аксиому выбора,первый бесконечный кардинал , что в единственном числе (первой бесконечной порядковый тот есть единственное число). Доказательство существования особых кардиналов требует аксиомы замены и фактически невозможности доказать существование сингулярных кардиналов.в теории множеств Цермело - вот что побудило Френкеля постулировать эту аксиому. [1]
Характеристики
Несчетные (слабые) предельные кардиналы , которые также являются регулярными, известны как (слабо) недоступные кардиналы . Невозможно доказать их существование в ZFC, хотя известно, что их существование несовместимо с ZFC. Иногда их существование воспринимается как дополнительная аксиома. Недоступные кардиналы обязательно фиксированные точки на функции алеф , хотя и не все неподвижные точки являются регулярными. Например, первая фиксированная точка - это предел-последовательность и поэтому является единственным.
Если аксиома выбора верна, то каждый последующий кардинал является правильным. Таким образом, регулярность или сингулярность большинства алеф-чисел может быть проверена в зависимости от того, является ли кардинал последующим или предельным кардиналом. Невозможно доказать, что некоторые кардинальные числа равны какому-либо конкретному алефу, например, мощность континуума , значение которой в ZFC может быть любым несчетным кардиналом бесчисленной конфинальности (см . Теорему Истона ). Гипотеза континуума постулирует, что мощность континуума равна, что регулярно.
Без аксиомы выбора были бы кардинальные числа, которые нельзя было бы хорошо упорядочить. Более того, кардинальная сумма произвольного набора не может быть определена. Следовательно, только числа алеф могут называться правильными или единичными кардиналами. Более того, алеф-преемник не обязательно должен быть обычным. Например, объединение счетного множества счетных множеств не обязательно должно быть счетным. Согласно ZF ,- предел счетной последовательности счетных ординалов, а также множество действительных чисел - счетное объединение счетных множеств. Кроме того, согласно ZF, каждый алеф крупнеесингулярно (результат доказал Моти Гитик ).
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Мэдди, Пенелопа (1988), "Верить аксиомы я.", Журнал символической логики , 53 (2): 481-511, DOI : 10.2307 / 2274520 , JSTOR 2274520 , MR 0947855 ,
Ранние намеков аксиомы замены может можно найти в письмах Кантора Дедекинду [1899] и у Мириманова [1917]
CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ). Мэдди цитирует две статьи Мириманофф: «Антиномии Рассела и Бурали-Форти и фундаментальные проблемы теории ансамблей» и «Ремарки по теории ансамблей и канторские антиномии», обе в L'Enseignement Mathématique (1917). .
- Герберт Б. Эндертон , Элементы теории множеств , ISBN 0-12-238440-7
- Кеннет Кунен , Теория множеств, Введение в доказательства независимости , ISBN 0-444-85401-0