Кофинитность

В математике , А коконечно подмножество из множества X является подмножество которого дополнение в X представляет собой конечное множество . Другими словами, содержит все , кроме конечного числа элементов из X . Если дополнение не конечно, но счетно, то говорят, что множество сосчитаемо .

Они возникают естественным образом при обобщении структур на конечных множествах до бесконечных множеств, особенно на бесконечных произведениях, как в топологии произведения или прямой сумме .

Булевы алгебры [ править ]

Множество всех конечных или конфинитных подмножеств X образует булеву алгебру , т. Е. Замкнуто относительно операций объединения , пересечения и дополнения. Эта Булева алгебра является конечно-коконечна алгеброй на X . Булева алгебра A имеет единственный неглавный ультрафильтр (т. Е. Максимальный фильтр, не порожденный одним элементом алгебры) тогда и только тогда, когда существует бесконечное множество X такое, что A изоморфна конечно-конфинитной алгебре на X. В этом случае неглавный ультрафильтр - это совокупность всех конфинитных множеств.

Конечная топология [ править ]

Коконечен топология (иногда называется конечная топология дополнения ) является топология , которая может быть определена на каждом множестве X . Он имеет точно пустое множество и все коконечны подмножества из X в качестве открытых множеств. Как следствие, в коконечене топологии, то только замкнутые подмножества конечные множества, или все X . Символически топологию записывают как

{\ displaystyle {\ mathcal {T}} = \ {A \ substeq X \ mid A = \ varnothing {\ mbox {или}} X \ setminus A {\ mbox {конечно}} \}}

Эта топология естественно возникает в контексте топологии Зарисского . Поскольку многочлены от одной переменной над полем K равны нулю на конечных множествах или на всем K , топология Зарисского на K (рассматриваемая как аффинная прямая ) является кофинитной топологией. То же самое верно для любой неприводимой алгебраической кривой ; это неверно, например, для XY = 0 на плоскости.

Свойства [ править ]

Подпространства: каждая топология подпространства конфинитной топологии также является конфинитной топологией.
Компактность: Поскольку каждое открытое множество содержит все , кроме конечного числа точек X , пространство X является компактным и последовательно компактным .
Разделение: конфинитная топология - это грубейшая топология, удовлетворяющая аксиоме T ₁ ; т.е. это наименьшая топология, для которой замкнуто каждое единичное множество . Фактически, произвольная топология на X удовлетворяет аксиоме T ₁ тогда и только тогда, когда она содержит конфинитную топологию. Если X конечно, то конфинитная топология - это просто дискретная топология . Если X не конечно, то эта топология не является T ₂ , регулярной или нормальной , так как никакие два непустых открытых множества не пересекаются (т. Е. Гиперсвязны ).

Двусторонняя кофинитная топология [ править ]

Топология обоюдоострого коконечена является коконечна топологией с каждой точкой в два раз; то есть это топологическое произведение кофинитной топологии с недискретной топологией на двухэлементном множестве. Это не T 0 или T 1 , поскольку точки дублета топологически неразличимы . Однако это R 0, поскольку топологически различимые точки отделимы.

Примером счетной двухконечной кофинитной топологии является набор четных и нечетных целых чисел с топологией, которая группирует их вместе. Пусть X множество целых чисел, и пусть О _А подмножество целых чисел, дополнение есть множество . Определите подбазу открытых множеств G _x для любого целого x как G _x = O _{_x_,_x_+1}, если x - четное число , и G _x = O _{_x_-1,_x_}если x нечетное. Тогда базисные множества X порождаются конечными пересечениями, то есть для конечного A открытые множества топологии равны

U_{A}:=\bigcap _{x\in A}G_{x}

Результирующее пространство не является T ₀ (и, следовательно, не T ₁ ), потому что точки x и x + 1 (для четных x ) топологически неразличимы. Однако это пространство является компактным , поскольку каждое U _A содержит все точки, кроме конечного числа.

Другие примеры [ править ]

Топология продукта [ править ]

Топология произведения на произведение топологических пространств имеет базу , где открыта, и cofinitely много . $\prod X_{i}$ $\prod U_{i}$ $U_{i}\subseteq X_{i}$ $U_{i}=X_{i}$

Аналогом (не требующим, чтобы все пространство было бесконечным множеством) является топология коробки .

Прямая сумма [ править ]

Элементы прямой суммы модулей - это бесконечные последовательности . $\bigoplus M_{i}$ $\alpha _{i}\in M_{i}$ $\alpha _{i}=0$

Аналогом (без требования, чтобы cконечное число равнялось нулю) является прямое произведение .

См. Также [ править ]

Список топологий

Ссылки [ править ]

Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Dover 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Руководство по ремонту 0507446 (См. Пример 18)