Ковариантная формулировка классического электромагнетизма

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток  / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статичное электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био – Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Магнитостатический потенциал Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Магнитный векторный потенциал Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля.
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор ( тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер
v т е

Ковариантна формулировка классического электромагнетизма относится к способам написания законов классического электромагнетизма (в частности, уравнение Максвелла и сила Лоренца ) в форме, явно инвариантно относительно преобразований Лоренца , в формализме специальной теории относительности с помощью прямолинейной инерциальных систем координат . Оба эти выражения упрощают доказательство того, что законы классического электромагнетизма принимают одинаковую форму в любой инерциальной системе координат, а также предоставляют способ переводить поля и силы из одной системы координат в другую. Однако это не так широко, как уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени. или непрямолинейные системы координат.

В этой статье используется классическая трактовка тензоров и соглашение Эйнштейна о суммировании, а метрика Минковского имеет вид diag (+1, −1, −1, −1). Там, где уравнения заданы как удерживаемые в вакууме, можно было бы вместо этого рассматривать их как формулировку уравнений Максвелла в терминах полного заряда и тока.

Для более общего обзора отношений между классическим электромагнетизмом и специальной теорией относительности, включая различные концептуальные значения этой картины, см. Классический электромагнетизм и специальная теория относительности .

Ковариантные объекты [ править ]

Предварительные четырехвекторы [ править ]

В этой статье для описания тел или частиц могут использоваться тензоры Лоренца следующих видов:

• четырехтактный :

${\ Displaystyle х ^ {\ альфа} = (ct, \ mathbf {x}) = (ct, x, y, z) \ ,.}$

• Четырехскоростной :

${\ Displaystyle и ^ {\ альфа} = \ гамма (с, \ mathbf {u}),}$

где γ ( u ) - фактор Лоренца при 3-скорости u .

• Четыре импульса :

${\ displaystyle p ^ {\ alpha} = (E / c, \ mathbf {p}) = m_ {0} u ^ {\ alpha} \,}$

где - 3-импульс, - полная энергия , - масса покоя .${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle m_ {0}}$

• Четыре градиента

${\ displaystyle \ partial ^ {\ nu} = {\ frac {\ partial} {\ partial x _ {\ nu}}} = \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} { \ partial t}}, - \ mathbf {\ nabla} \ right) \ ,,}$

• Alembertian d' оператор обозначается , .${\ displaystyle {\ partial} ^ {2}}$${\ displaystyle \ partial ^ {2} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ partial \ over \ partial t} {\ partial \ over \ partial t} - \ nabla ^ {2}}$

Знаки в следующем тензорном анализе зависят от соглашения, используемого для метрического тензора . Здесь используется соглашение (+ - - -) , соответствующее метрическому тензору Минковского :

${\ displaystyle \ eta ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {pmatrix}} \,}$

Электромагнитный тензор [ править ]

Электромагнитный тензор представляет собой комбинацию электрического и магнитного полей в ковариантный антисимметричный тензор , элементами которого являются величины B-поля.^[1]

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)\,}$

и результат повышения его индексов равен

${\displaystyle F^{\mu \nu }\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,\eta ^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,\eta ^{\beta \nu }=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)\,.}$

где E - электрическое поле , B - магнитное поле , а c - скорость света .

Четыре тока [ править ]

Четыре-ток - это контравариантный четырехвектор, который сочетает в себе плотность электрического заряда ρ и плотность электрического тока j :

${\displaystyle J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {j} )\,.}$

Четырехпотенциал [ править ]

Электромагнитный четырехпотенциал - это ковариантный четырехвектор, содержащий электрический потенциал (также называемый скалярным потенциалом ) ϕ и магнитный векторный потенциал (или векторный потенциал ) A , как показано ниже:

${\displaystyle A^{\alpha }=\left(\phi /c,\mathbf {A} \right)\,.}$

Дифференциал электромагнитного потенциала равен

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,.}$

На языке дифференциальных форм , который обеспечивает обобщение искривленных пространств-времени, это компоненты 1-формы и 2-формы соответственно. Здесь - внешняя производная и произведение клина .${\displaystyle A=A_{\alpha }dx^{\alpha }}$${\displaystyle F=dA={\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }dx^{\alpha }\wedge dx^{\beta }}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \wedge }$

Электромагнитный тензор энергии-напряжения [ править ]

Электромагнитный тензор энергии-импульса можно интерпретировать как плотность потока четырехвектора импульса и представляет собой контравариантный симметричный тензор, который представляет собой вклад электромагнитных полей в общий тензор энергии-импульса :

${\displaystyle T^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}\epsilon _{0}E^{2}/2+B^{2}/2\mu _{0}&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{pmatrix}}\,,}$

где - электрическая проницаемость вакуума , μ ₀ - магнитная проницаемость вакуума , вектор Пойнтинга равен${\displaystyle \epsilon _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }$

а тензор напряжений Максвелла имеет вид

${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-\left({\frac {1}{2}}\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}\,.}$

Тензор электромагнитного поля F строит тензор электромагнитного напряжения-энергии T по уравнению:

${\displaystyle T^{\alpha \beta }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\eta ^{\alpha \nu }F_{\nu \gamma }F^{\gamma \beta }+{\frac {1}{4}}\eta ^{\alpha \beta }F_{\gamma \nu }F^{\gamma \nu }\right)}$^[2]

где η - метрический тензор Минковского (с сигнатурой (+ - - -) ). Обратите внимание, что мы используем тот факт, что

${\displaystyle \epsilon _{0}\mu _{0}c^{2}=1\,,}$

что предсказывается уравнениями Максвелла.

Уравнения Максвелла в вакууме [ править ]

В вакууме (или для микроскопических уравнений, не включая описания макроскопических материалов) уравнения Максвелла можно записать в виде двух тензорных уравнений.

Два неоднородные уравнения Максвелла, закон Гаусса и закон Ампера (с коррекцией Максвелла) объединяются в (с (+ - - -) метрикой): ^[3]

в то время как однородные уравнения - закон индукции Фарадея и закон Гаусса для магнетизма объединяются с образованием , которые могут написаны с использованием Леви-Чивита двойственность , как:${\displaystyle {{\partial }_{\sigma }}{{F}^{\mu \nu }}+{{\partial }_{\mu }}{{F}^{\nu \sigma }}+{{\partial }_{\nu }}{{F}^{\sigma \mu }}=0}$

где F ^αβ - электромагнитный тензор , J ^α - четырехтоковый , ε ^αβγδ - символ Леви-Чивиты , а индексы ведут себя в соответствии с соглашением Эйнштейна о суммировании .

Каждое из этих тензорных уравнений соответствует четырем скалярным уравнениям, по одному для каждого значения β .

Используя обозначение антисимметричного тензора и запятую для частной производной (см. Исчисление Риччи ), второе уравнение также можно записать более компактно как:

${\displaystyle F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}=0.}$

При отсутствии источников уравнения Максвелла сводятся к следующему:

${\displaystyle \partial ^{\nu }\partial _{\nu }F^{\alpha \beta }\,\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \,{\partial }^{2}F^{\alpha \beta }\,\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over c^{2}}{\partial ^{2}F^{\alpha \beta } \over {\partial t}^{2}}-\nabla ^{2}F^{\alpha \beta }=0\,,}$

которое представляет собой уравнение электромагнитной волны в тензоре напряженности поля.

Уравнения Максвелла в калибровке Лоренца [ править ]

Манометр условие Лоренца является лоренц-инвариантным калибровочным условием. (Это можно противопоставить другим калибровочным условиям, таким как кулоновская калибровка , которая, если она выполняется в одной инерциальной системе отсчета , обычно не выполняется ни в какой другой.) Это выражается в терминах четырехпотенциала следующим образом:

${\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=\partial ^{\alpha }A_{\alpha }=0\,.}$

В калибровке Лоренца микроскопические уравнения Максвелла могут быть записаны как:

${\displaystyle {\partial }^{2}A^{\sigma }=\mu _{0}\,J^{\sigma }\,.}$

Сила Лоренца [ править ]

Заряженная частица [ править ]

Электромагнитные (ЭМ) поля влияют на движение электрически заряженной материи: из-за силы Лоренца . Таким образом, электромагнитные поля могут быть обнаружены (с приложениями в физике элементарных частиц и природных явлениях, таких как полярные сияния ). В релятивистской форме сила Лоренца использует тензор напряженности поля следующим образом. ^[4]

В единицах координатного времени t это:

${\displaystyle {dp_{\alpha } \over {dt}}=q\,F_{\alpha \beta }\,{\frac {dx^{\beta }}{dt}},}$

где p _α - четырехмерный импульс, q - заряд , а x ^β - позиция.

Выражаясь в рамочно-независимой форме, мы имеем четырехступенчатую

${\displaystyle {\frac {dp_{\alpha }}{d\tau }}\,=q\,F_{\alpha \beta }\,u^{\beta },}$

где u ^β - четырехскоростная скорость, а τ - собственное время частицы , которое связано с координатным временем соотношением dt = γdτ .

Континуум заряда [ править ]

Плотность силы из-за электромагнетизма, пространственная часть которой является силой Лоренца, определяется выражением

${\displaystyle f_{\alpha }=F_{\alpha \beta }J^{\beta }.\!}$

и связана с электромагнитным тензором энергии-импульса соотношением

${\displaystyle f^{\alpha }=-{T^{\alpha \beta }}_{,\beta }\equiv -{\frac {\partial T^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}.}$

Законы сохранения [ править ]

Электрический заряд [ править ]

Уравнение неразрывности :

${\displaystyle {{J}^{\beta }}_{,\beta }{\overset {\text{def}}{\mathop {=} }}\,{{\partial }_{\beta }}{{J}^{\beta }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\alpha }}{{F}^{\alpha \beta }}/{{\mu }_{0}}=0.}$

выражает сохранение заряда .

Электромагнитная энергия-импульс [ править ]

Используя уравнения Максвелла, можно увидеть, что электромагнитный тензор энергии-импульса (определенный выше) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению, связывающему его с электромагнитным тензором и четырехвектором тока

${\displaystyle {T^{\alpha \beta }}_{,\beta }+F^{\alpha \beta }J_{\beta }=0}$

или же

${\displaystyle \eta _{\alpha \nu }{T^{\nu \beta }}_{,\beta }+F_{\alpha \beta }J^{\beta }=0,}$

который выражает сохранение количества движения и энергии за счет электромагнитных взаимодействий.

Ковариантные объекты в материи [ править ]

Свободные и связанные четырехтоки [ править ]

Чтобы решить приведенные здесь уравнения электромагнетизма, необходимо добавить информацию о том, как рассчитать электрический ток, J ^ν. Часто бывает удобно разделить ток на две части, свободный ток и связанный ток, которые моделируется разными уравнениями;

${\displaystyle J^{\nu }={J^{\nu }}_{\text{free}}+{J^{\nu }}_{\text{bound}}\,,}$

куда

${\displaystyle {J^{\nu }}_{\text{free}}=(c\rho _{\text{free}},\mathbf {J} _{\text{free}})=\left(c\nabla \cdot \mathbf {D} ,-\ {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {H} \right)\,,}$

${\displaystyle {J^{\nu }}_{\text{bound}}=(c\rho _{\text{bound}},\mathbf {J} _{\text{bound}})=\left(-\ c\nabla \cdot \mathbf {P} ,{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {M} \right)\,.}$

Были использованы макроскопические уравнения Максвелла , а также определения электрического смещения D и напряженности магнитного поля H :

${\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} ,}$

${\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} -\mathbf {M} \,.}$

где М представляет собой намагниченность и Р электрической поляризации .

Тензор намагниченности-поляризации [ править ]

Связанный ток получается из полей P и M, которые образуют антисимметричный контравариантный тензор намагниченности-поляризации ^[1]

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&P_{x}c&P_{y}c&P_{z}c\\-P_{x}c&0&-M_{z}&M_{y}\\-P_{y}c&M_{z}&0&-M_{x}\\-P_{z}c&-M_{y}&M_{x}&0\end{pmatrix}},}$

который определяет связанный ток

${\displaystyle {J^{\nu }}_{\text{bound}}=\partial _{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,.}$

Тензор электрического смещения [ править ]

Если это объединить с F ^μν, мы получим антисимметричный контравариантный тензор электромагнитного смещения, который объединяет поля D и H следующим образом:

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-D_{x}c&-D_{y}c&-D_{z}c\\D_{x}c&0&-H_{z}&H_{y}\\D_{y}c&H_{z}&0&-H_{x}\\D_{z}c&-H_{y}&H_{x}&0\end{pmatrix}}.}$

Три тензора поля связаны соотношением:

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}F^{\mu \nu }-{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,}$

что эквивалентно определениям полей D и H, данным выше.

Уравнения Максвелла в веществе [ править ]

В результате закон Ампера ,

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\text{free}}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$,

и закон Гаусса ,

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{free}}}$,

объединить в одно уравнение:

Связанный ток и свободный ток, как определено выше, автоматически и отдельно сохраняются.

${\displaystyle \partial _{\nu }{J^{\nu }}_{\text{bound}}=0\,}$

${\displaystyle \partial _{\nu }{J^{\nu }}_{\text{free}}=0\,.}$

Материальные уравнения [ править ]

Вакуум [ править ]

В вакууме определяющие соотношения между тензором поля и тензором смещения следующие:

${\displaystyle \mu _{0}{\mathcal {D}}^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \alpha }F_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu }\,.}$

Антисимметрия сводит эти 16 уравнений всего к шести независимым уравнениям. Поскольку обычно F ^μν определяют как

${\displaystyle F^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \alpha }F_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu },}$

в вакууме определяющие уравнения могут быть объединены с законом Гаусса-Ампера, чтобы получить:

${\displaystyle \partial _{\beta }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\alpha }.\!}$

Электромагнитный тензор энергии-импульса в терминах смещения равен:

${\displaystyle T_{\alpha }{}^{\pi }=F_{\alpha \beta }{\mathcal {D}}^{\pi \beta }-{\frac {1}{4}}\delta _{\alpha }^{\pi }F_{\mu \nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu },}$

где δ _α ^π - символ Кронекера . Когда верхний индекс понижается на η , он становится симметричным и является частью источника гравитационного поля.

Линейное недисперсное вещество [ править ]

Таким образом , мы свели задачу моделирования тока, J ^v , к двум (надеюсь) более легких проблем - моделирование свободного тока, J ^ν _{бесплатно} и моделирование намагниченности и поляризации, . Например, в простейших материалах на низких частотах${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu }}$

${\displaystyle \mathbf {J} _{\text{free}}=\sigma \mathbf {E} \,}$

${\displaystyle \mathbf {P} =\epsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} \,}$

${\displaystyle \mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} \,}$

где один находится в мгновенно движущейся инерциальной системе отсчета материала, σ - его электрическая проводимость , χ _e - его электрическая восприимчивость , а χ _m - его магнитная восприимчивость .

Материальные отношения между и F тензорами, предложенных Минковским для линейных материалов (то есть, Е является пропорционально к D и B , пропорциональный H ), являются: ^[5]${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }u_{\nu }=c^{2}\epsilon F^{\mu \nu }u_{\nu }}$

${\displaystyle {\star {\mathcal {D}}^{\mu \nu }}u_{\nu }={\frac {1}{\mu }}{\star F^{\mu \nu }}u_{\nu }}$

где u - четырехскоростная скорость материала, ε и μ - соответственно собственная диэлектрическая проницаемость и проницаемость материала (т. е. в системе покоя материала), и обозначает двойственную величину Ходжа .${\displaystyle \star }$

Лагранжиан классической электродинамики [ править ]

Вакуум [ править ]

Плотность лагранжиана для классической электродинамики состоит из двух компонентов: компонента поля и компонента источника:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,{\mathcal {L}}_{\mathrm {field} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-A_{\alpha }J^{\alpha }\,.}$

В термине взаимодействия четырехток следует понимать как аббревиатуру многих терминов, выражающих электрические токи других заряженных полей через их переменные; четыре-ток сам по себе не является фундаментальным полем.

Уравнения Лагранжа для плотности электромагнитного лагранжиана можно сформулировать следующим образом:${\displaystyle {\mathcal {L}}(A_{\alpha },\partial _{\beta }A_{\alpha })\,}$

${\displaystyle \partial _{\beta }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\beta }A_{\alpha })}}\right]-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\alpha }}}=0\,.}$

Отмечая

${\displaystyle F^{\lambda \sigma }=F_{\mu \nu }\eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma }}$,

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\,}$и

${\displaystyle {\partial (\partial _{\mu }A_{\nu }) \over \partial (\partial _{\rho }A_{\sigma })}=\delta _{\mu }^{\rho }\delta _{\nu }^{\sigma }}$

выражение внутри квадратной скобки:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\beta }A_{\alpha })}}&=-\ {\frac {1}{4\mu _{0}}}\ {\frac {\partial (F_{\mu \nu }\eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma }F_{\lambda \sigma })}{\partial (\partial _{\beta }A_{\alpha })}}\\&=-\ {\frac {1}{4\mu _{0}}}\ \eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma }\left(F_{\lambda \sigma }(\delta _{\mu }^{\beta }\delta _{\nu }^{\alpha }-\delta _{\nu }^{\beta }\delta _{\mu }^{\alpha })+F_{\mu \nu }(\delta _{\lambda }^{\beta }\delta _{\sigma }^{\alpha }-\delta _{\sigma }^{\beta }\delta _{\lambda }^{\alpha })\right)\\&=-\ {\frac {F^{\beta \alpha }}{\mu _{0}}}\,.\end{aligned}}}$

Второй член

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\alpha }}}=-J^{\alpha }\,.}$

Следовательно, уравнения движения электромагнитного поля имеют вид

${\displaystyle {\frac {\partial F^{\beta \alpha }}{\partial x^{\beta }}}=\mu _{0}J^{\alpha }\,.}$

которое является приведенным выше уравнением Гаусса-Ампера.

Дело [ править ]

Отделяя свободные токи от связанных токов, другой способ записать плотность лагранжиана выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-A_{\alpha }J_{\text{free}}^{\alpha }+{\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }{\mathcal {M}}^{\alpha \beta }\,.}$

Используя уравнение Лагранжа, можно вывести уравнения движения для .${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }}$

Эквивалентное выражение в нерелятивистской векторной записи:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}-{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\phi \,\rho _{\text{free}}+\mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\text{free}}+\mathbf {E} \cdot \mathbf {P} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {M} \,.}$

См. Также [ править ]

• Ковариантная классическая теория поля
• Электромагнитный тензор
• Уравнение электромагнитной волны
• Потенциал Льенара – Вихерта для заряда в произвольном движении.
• Проблема с подвижным магнитом и проводником
• Неоднородное уравнение электромагнитной волны
• Proca действие
• Квантовая электродинамика
• Релятивистский электромагнетизм
• Штюкельберг действие
• Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана

Примечания и ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Эйнштейн, А. (1961). Относительность: специальная и общая теория . Нью-Йорк: Корона. ISBN 0-517-02961-8.
• Миснер, Чарльз; Thorne, Kip S .; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• Ландау, ЛД; Лифшиц, Э.М. (1975). Классическая теория полей (четвертое пересмотренное английское издание). Оксфорд: Пергамон. ISBN 0-08-018176-7.
• Р.П. Фейнман; FB Moringo; WG Wagner (1995). Лекции Фейнмана по гравитации . Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-62734-5.