В физике , закон Гаусса для магнетизма является одним из четырех уравнений Максвелла , лежащих в основе классической электродинамики . Он утверждает, что магнитное поле B имеет расходимость, равную нулю [1], другими словами, что это соленоидальное векторное поле . Это эквивалентно утверждению, что магнитных монополей не существует. [2] Основным элементом магнетизма является магнитный диполь, а не «магнитные заряды» . (Если бы монополи когда-либо были обнаружены, закон пришлось бы изменить, как описано ниже.)
Закон Гаусса для магнетизма может быть записан в двух формах: дифференциальной и интегральной . Эти формы эквивалентны по теореме о расходимости .
Название «закон Гаусса для магнетизма» [1] используется не повсеместно. Закон еще называют «Отсутствие свободных магнитных полюсов »; [2] в одной ссылке даже прямо говорится, что у закона «нет названия». [3] Это также называется «требованием поперечности» [4], поскольку для плоских волн требуется, чтобы поляризация была поперечной направлению распространения.
Дифференциальная форма
Дифференциальная форма закона Гаусса для магнетизма:
где ∇ · обозначает расходимость , а B - магнитное поле .
Интегральная форма
Интегральная форма закона Гаусса для магнетизма гласит:
где S - любая замкнутая поверхность (см. изображение справа), а d S - вектор , величина которого равна площади бесконечно малой части поверхности S , а направление - направленная наружу нормаль к поверхности (см. интеграл поверхности для более подробной информации. ).
Левая часть этого уравнения называется чистым потоком магнитного поля от поверхности, а закон Гаусса для магнетизма утверждает, что он всегда равен нулю.
Интегральная и дифференциальная формы закона Гаусса для магнетизма математически эквивалентны из-за теоремы о расходимости . Тем не менее, один или другой может быть более удобным для использования в конкретных вычислениях.
Закон в этой форме гласит, что для каждого элемента объема в пространстве существует точно такое же количество «силовых линий магнитного поля», входящих и выходящих из объема. Никакой общий «магнитный заряд» не может накопиться ни в одной точке космоса. Например, южный полюс магнита имеет такую же силу, как и северный полюс, и свободно плавающие южные полюса без сопровождающих северных полюсов (магнитные монополи) не допускаются. Напротив, это неверно для других полей, таких как электрические поля или гравитационные поля , где общий электрический заряд или масса могут накапливаться в объеме пространства.
Векторный потенциал
В связи с теоремой разложения Гельмгольца , Ряд Гаусса эквивалентно следующему утверждению: [5] [6]
Векторное поле A называется векторным магнитным потенциалом .
Обратите внимание, что существует более одного возможного A, которое удовлетворяет этому уравнению для данного поля B. Фактически, их бесконечно много: любое поле вида ∇ ϕ может быть добавлено на A, чтобы получить альтернативный выбор для A посредством тождества (см. Тождества векторного исчисления ):
поскольку локон градиента является нулевым векторным полем :
Этот произвол в A называется калибровочной свободой .
Полевые линии
Магнитное поле В может быть изображена с помощью силовых линий (называемых также линий потока ) - то есть, набор кривых, направление соответствует направлению B , и поверхностная плотность которого пропорциональна величине B . Закон Гаусса для магнетизма эквивалентен утверждению, что силовые линии не имеют ни начала, ни конца: каждая из них либо образует замкнутую петлю, вечно вьется вокруг себя, никогда не соединяясь полностью с собой, либо простирается до бесконечности.
Модификация при наличии магнитных монополей
Если бы магнитные монополи были обнаружены, то закон Гаусса для магнетизма утверждал бы, что дивергенция B будет пропорциональна плотности магнитного заряда ρ m , аналогично закону Гаусса для электрического поля. Для нулевой чистой плотности магнитного заряда ( ρ m = 0 ) результатом является исходная форма закона магнетизма Гаусса.
Модифицированная формула в единицах СИ не является стандартной; в одном варианте, магнитный заряд имеет единицы Webers , в другом она имеет единицы ампер - метры .
Единицы измерения | Уравнение |
---|---|
единицы cgs [7] | |
Единицы СИ ( веберовское соглашение) [8] | |
Единицы СИ ( ампер - метр конвенции) [9] |
где μ 0 - проницаемость вакуума .
Пока что примеры магнитных монополей оспариваются в обширном поиске [10], хотя в некоторых статьях сообщается о примерах, соответствующих такому поведению. [11]
История
Идея отсутствия магнитных монополей возникла в 1269 году Петрусом Перегринусом де Марикуром . Его работы сильно повлияли на Уильяма Гилберта , чья работа Де Магнете 1600 года распространила идею дальше. В начале 1800-х годов Майкл Фарадей повторно ввел этот закон, и впоследствии он вошел в уравнения электромагнитного поля Джеймса Клерка Максвелла .
Численный расчет
При численных вычислениях численное решение может не удовлетворять закону Гаусса для магнетизма из-за ошибок дискретизации численных методов. Однако во многих случаях, например для магнитогидродинамики , важно точно сохранить закон Гаусса для магнетизма (с точностью до машинной точности). Нарушение закона Гаусса для магнетизма на дискретном уровне приведет к появлению сильной нефизической силы. Ввиду сохранения энергии нарушение этого условия приводит к неконсервативному интегралу энергии, а ошибка пропорциональна расходимости магнитного поля. [12]
Существуют различные способы сохранения закона Гаусса для магнетизма в численных методах, включая методы очистки расходимости, [13] метод переноса с ограничениями, [14] формулировки на основе потенциала [15] и методы конечных элементов на основе комплекса де Рама [16] [17], где стабильные и сохраняющие структуру алгоритмы строятся на неструктурированных сетках с дифференциальными формами конечных элементов.
Смотрите также
- Магнитный момент
- Векторное исчисление
- интеграл
- Поток
- Гауссова поверхность
- Закон индукции Фарадея
- Обходной закон Ампера
- Калибровочное условие Лоренца
Рекомендации
- ^ a b Чоу, Тай Л. (2006). Электромагнитная теория: современная перспектива . Джонс и Бартлетт . п. 134. ISBN 0-7637-3827-1.
- ^ а б Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Вайли . п. 237. ISBN. 0-471-30932-X.
- ^ Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл . п. 321 . ISBN 0-13-805326-X.
- ^ Joannopoulos, John D .; Джонсон, Стив Дж .; Winn, Joshua N .; Мид, Роберт Д. (2008). Фотонные кристаллы: формирование потока света (2-е изд.). Издательство Принстонского университета . п. 9. ISBN 978-0-691-12456-8.
- ^ Шильдерс, ВАЗ; и другие. (2005). Справочник по численному анализу . п. 13. ISBN 978-0-444-51375-5.
- ^ Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Вайли . п. 180. ISBN 0-471-30932-X.
- ^ Мулен, Ф. (2001). «Магнитные монополи и сила Лоренца». Il Nuovo Cimento Б . 116 (8): 869–877. arXiv : math-ph / 0203043 . Bibcode : 2001NCimB.116..869M .
- ^ Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Вайли . п. 273, ур. 6.150.
- ^ См., Например, уравнение 4 в Новаковский, М .; Келкар, Н.Г. (2005). «Закон Фарадея при наличии магнитных монополей». Письма еврофизики . 71 (3): 346. arXiv : Physics / 0508099 . Bibcode : 2005EL ..... 71..346N . DOI : 10,1209 / EPL / i2004-10545-2 . S2CID 17729781 .
- ^ Магнитные монополи , отчет группы данных по частицам , обновленный в августе 2015 г. Д. Милстедом и Э. Дж. Вайнбергом. «На сегодняшний день не было подтвержденных наблюдений экзотических частиц, обладающих магнитным зарядом».
- ^ Кастельново, C .; Moessner, R .; Сонди, С.Л. (3 января 2008 г.). «Магнитные монополи в спиновом льду». Природа. 451 (7174): 42–45. arXiv: 0710.5515. Бибкод: 2008Natur.451 ... 42C. DOI: 10,1038 / природа06433. PMID 18172493. S2CID 2399316.
- ^ Brackbill, JU; Барнс, округ Колумбия (май 1980 г.). «Влияние ненулевого ∇ · B на численное решение уравнений магнитной гидродинамики». Журнал вычислительной физики . 35 (3): 426–430. Bibcode : 1980JCoPh..35..426B . DOI : 10.1016 / 0021-9991 (80) 90079-0 .
- ^ Тот, Габор (1 июля 2000 г.). «Ограничение ∇ · B = 0 в кодах магнитной гидродинамики с захватом ударов». Журнал вычислительной физики . 161 (2): 605–652. Bibcode : 2000JCoPh.161..605T . DOI : 10,1006 / jcph.2000.6519 . ISSN 0021-9991 . S2CID 122112157 .
- ^ Эрнквист, Ларс; Фогельсбергер, Марк; Моч, Филипп (21 июля 2014 г.). «Схема транспортировки с ограничениями для МГД на неструктурированных статических и движущихся сетках» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 442 (1): 43–55. arXiv : 1402,5963 . Bibcode : 2014MNRAS.442 ... 43М . DOI : 10.1093 / MNRAS / stu865 . ISSN 0035-8711 .
- ^ Джардин, Стивен (2010). Вычислительные методы в физике плазмы (1-е изд.). Бока-Ратон: CRC Press. ISBN 9780429075537.
- ^ Ху, Кайбо; Ма, Иконг; Сюй, Цзиньчао (1 февраля 2017 г.). «Устойчивые методы конечных элементов, сохраняющие ∇ · B = 0 именно для МГД-моделей». Numerische Mathematik . 135 (2): 371–396. DOI : 10.1007 / s00211-016-0803-4 . ISSN 0945-3245 . S2CID 30546761 .
- ^ Ма, Иконг; Ху, Кайбо; Ху, Сяочжэ; Сюй, Цзиньчао (июль 2016 г.). «Надежные прекондиционеры для несжимаемых МГД моделей». Журнал вычислительной физики . 316 : 721–746. arXiv : 1503.02553 . Bibcode : 2016JCoPh.316..721M . DOI : 10.1016 / j.jcp.2016.04.019 . S2CID 7777728 .
Внешние ссылки
- СМИ, связанные с законом Гаусса для магнетизма, на Викискладе?