В математике конфигурация Кремоны – Ричмонда представляет собой конфигурацию из 15 линий и 15 точек, имеющую по 3 точки на каждой линии и по 3 линии через каждую точку и не содержащую треугольников. Его изучали Кремона ( 1877 г. ) и Ричмонд ( 1900 г. ). Это обобщенный четырехугольник с параметрами (2,2). Его граф Леви - это граф Тутта – Кокстера . [1]
Симметрия
Точки конфигурации Кремона – Ричмонд можно отождествить с неупорядоченные пары элементов шестиэлементного набора; эти пары называются парами . Точно так же линии конфигурации могут быть идентифицированы с помощью 15 способов разделения одних и тех же шести элементов на три пары; эти разделы называются синтемами . Идентифицированная таким образом точка конфигурации инцидентна строке конфигурации тогда и только тогда, когда пара, соответствующая точке, является одной из трех пар в синтеме, соответствующей строке. [1]
Симметрическая группа всех перестановок из шести элементов , лежащих в основе этой системы диад и synthemes выступает в качестве группы симметрии конфигурации Кремоны-Ричмонд, и дает автоморфизм группе конфигурации. Каждый флаг конфигурации (пара инцидентных точек и линий) можно сопоставить с любым другим флагом посредством симметрии в этой группе. [1]
Конфигурация Кремона – Ричмонда самодвойственна : можно обменивать точки на линии, сохраняя при этом все инциденты конфигурации. Эта двойственность придает графу Тутта – Кокстера дополнительные симметрии помимо симметрий конфигурации Кремоны – Ричмонда, которые меняют местами две стороны его двудольного распределения. Эти симметрии соответствуют внешним автоморфизмам симметрической группы на шести элементах.
Реализация
Любые шесть точек в общем положении в четырехмерном пространстве определяют 15 точек, в которых линия, проходящая через две точки, пересекает гиперплоскость через другие четыре точки; таким образом, пары шести точек однозначно соответствуют этим 15 производным точкам. Любые три пары, которые вместе образуют синтему, определяют линию, линию пересечения трех гиперплоскостей, содержащую две из трех дуад в синтеме, и эта линия содержит каждую из точек, полученных из трех ее дуад. Таким образом, дуады и синтемы абстрактной конфигурации соответствуют один к одному, сохраняя инцидентность, этим 15 точкам и 15 линиям, полученным из исходных шести точек, которые образуют реализацию конфигурации. Та же реализация может быть спроецирована в евклидово пространство или евклидову плоскость. [1]
Конфигурация Кремоны – Ричмонда также имеет однопараметрическое семейство реализаций на плоскости с циклической симметрией пятого порядка. [2]
История
Людвиг Шлефли ( 1858 , 1863 ) нашел кубические поверхности, содержащие наборы из 15 вещественных прямых (дополняющих двойную шестерку Шлефли в наборе всех 27 прямых на кубике) и 15 касательных плоскостей, с тремя линиями в каждой плоскости и тремя плоскостями через каждую. линия. Пересечение этих линий и плоскостей другой плоскостью приводит к конфигурации 15 3 15 3 . Специфическая картина падения линий и плоскостей Шлефли была позже опубликована Луиджи Кремона ( 1868 г. ). Замечание, что полученная конфигурация не содержит треугольников, было сделано Мартинетти (1886) , и такая же конфигурация также появляется в работе Герберта Уильяма Ричмонда ( 1900 ). Висконти (1916) нашел описание конфигурации как самовписанного многоугольника. Х. Ф. Бейкер использовал четырехмерную реализацию этой конфигурации в качестве фронтисписа для двух томов своего учебника 1922–1925 годов « Основы геометрии» . Захариас (1951) также заново открыл ту же конфигурацию и нашел ее реализацию с циклической симметрией пятого порядка. [3]
Название конфигурации происходит от исследований Кремоны ( 1868 , 1877 ) и Ричмонда (1900) ; возможно, из-за некоторых ошибок в его работе современный вклад Мартинетти остался в тени. [3]
Заметки
- ^ a b c d Кокстер (1950) ; Кокстер (1958) . Терминология пар и синтем взята из работы Сильвестра (1844) , но Сильвестр рассматривает эти системы пар и разбиений в контексте более общего изучения кортежей и разбиений множеств, не уделяя особого внимания случаю шестиэлементной системы. набор и не придает наборам никакого геометрического значения.
- ↑ Захария (1951) ; Бобен и Пизанский (2003) ; Boben et al. (2006) .
- ^ a b Эта история и большинство ссылок в ней заимствованы у Бобена и др. (2006) . Ссылка на Бейкера из Coxeter (1950) .
Рекомендации
- Boben, M .; Pisanski, Т. (2003), "полициклические конфигурации" (PDF) , Европейский журнал комбинаторике , 24 (4): 431-457, DOI : 10.1016 / S0195-6698 (03) 00031-3 , MR 1975946
- Бобен, Марко; Грюнбаум, Бранко ; Писанский, Томаж ; Žitnik, Arjana (2006), "Маленькая треугольная свободная конфигурация точек и линий" (PDF) , Дискретная и Вычислительная геометрия , 35 (3): 405-427, DOI : 10.1007 / s00454-005-1224-9 , МР 2202110.
- Косетер, HSM (1950), "Автодуальные конфигурации и регулярные графы", Бюллетень Американского математического общества , 56 : 413-455, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1950-09407-5 , MR 0038078.
- Косетер, HSM (1958), "Двенадцать точек в PG (5,3) с 95040 самостоятельных преобразований", Труды Королевского общества А , 247 (1250): 279-293, DOI : 10.1098 / rspa.1958.0184 , JSTOR 100667.
- Кремона, Л. (1868), "Mémoire de géométrie pure sur les поверхности du troisieme ordre", J. Reine Angew. Математика. , 68 : 1–133. Как цитируется Boben et al. (2006) .
- Кремона, Л. (1877), Теоретические стереометрические данные о качестве si deducono le proprietà dell 'esagrammo di Pascal , Atti della R. Accademia dei Lincei, 1
- Грюнбаум, Бранко (2009), Конфигурации точек и линий , Аспирантура по математике , 103 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4308-6, Руководство по ремонту 2510707
- Мартинетти, В. (1886), "Сопра alcune configurazioni Piane", Annali ди Matematica Пура ред Applicata , Series 2, 14 (1): 161-192, DOI : 10.1007 / BF02420733.
- Ричмонд, HW (1900), «О фигуре шести точек в четырехмерном пространстве». , Кварт. J. , 31 : 125–160
- Schläfli, L. (1858), «Попытка определить двадцать семь линий на поверхности третьего порядка и разделить такие поверхности на виды в соответствии с реальностью линий на поверхности» , Quart. J. Pure Appl. Математика. , 2 : 55–65, 110–120.
- Schläfli, L. (1863), «О распределении поверхностей третьего порядка по видам в связи с отсутствием или присутствием особых точек и реальностью их линий» , Philosophical Transactions of the Royal Society , 153 : 193 -241, DOI : 10.1098 / rstl.1863.0010.
- Сильвестр, JJ (1844), "Элементарные исследования в анализе комбинаторной агрегации" (PDF) , Phil. Mag. , Серия 3, 24 : 285-295, DOI : 10,1080 / 14786444408644856.
- Висконти, Э. (1916), "Sulle configurazioni piane atrigone", Giornale di Matematiche di Battaglini , 54 : 27–41. Как цитируется Boben et al. (2006) .
- Захариас, Макс (1951), «Streifzüge im Reich der Konfigurationen: Eine Reyesche Konfiguration (15 3 ), Stern- und Kettenkonfigurationen», Mathematische Nachrichten , 5 : 329–345, doi : 10.1002 / mana.19510050602 , MR 0043473.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Конфигурация Кремоны – Ричмонда» . MathWorld .
- Изображение конфигурации Кремона – Ричмонд
- Изображение конфигурации Кремона – Ричмонд