В математическом анализе , А домен является любым подключенным открытым подмножеством из конечномерного векторного пространства . Это понятие отличается от области определения функции , хотя оно часто используется для этой цели, например, в уравнениях в частных производных и пространствах Соболева .
Различные степени гладкости границы области требуется для различных свойств функций , определенных на домене трюм, такие как интегральные теоремы ( теорема Грина , Стокс теорема ), свойство пространств Соболева , а также определить меры на границе и пространствах от следов (обобщенные функции , определенные на границе). Обычно рассматриваемые типы областей - это области с непрерывной границей, липшицевой границей , границей C 1 и т. Д.
Ограниченная область является областью , которая является ограниченным множеством , в то время как внешний или внешний доменом является внутренней частью дополнения ограниченной области.
В комплексном анализе , А комплекс домен (или просто домен ) любое связное открытое подмножество комплексной плоскости . Например, вся комплексная плоскость является областью, как и открытый единичный диск , открытая верхняя полуплоскость и так далее. Часто сложный домен служит в качестве области определения для голоморфных функций . При изучении нескольких сложных переменных определение области расширяется, чтобы включить любое связное открытое подмножество.
Исторические заметки
Определение . Eine offene Punktmenge heißt zusammenhängend, wenn man sie nicht als Summe von zwei offenen Punktmengen darstellen kann. Eine offene zusammenhängende Punktmenge heißt ein Gebiet. [1]
- Константин Каратеодори , ( Каратеодори, 1918 , стр. 222).
Согласно Hans Hahn , [2] понятие домена в качестве открытого связного множества было введено Константином Carathéodory в своей известной книге ( Каратеодорьте 1918 ). Hahn также отмечает , что слово « Gebiet » ( « Домен ») было иногда ранее использовалось как синоним из открытого множества . [3]
Однако термин «домен» иногда использовался для обозначения тесно связанных, но немного разных понятий. Например, в своих влиятельных монографиях на эллиптических дифференциальных уравнений в частных , Карло Миранда использует термин «регион» , чтобы определить открытое связное множество, [4] [5] и резервов термин «домен» , чтобы определить внутренне соединены, [6] совершенное множество , каждая точка которого является точкой накопления внутренних точек, [4] следуя его бывшему учителю Мауро Пиконе : [7] согласно этому соглашению, если множество A является областью, то его замыкание A является областью. [4]
Смотрите также
- Аналитический многогранник
- Набор Caccioppoli
- Липшицевский домен
- Регион (математический анализ)
Заметки
- ^ Английский: «Открытое множество связано, если оно не может быть выражено как сумма двух открытых множеств. Открытое связное множество называется областью» : в этом определении Каратеодори рассматривает явно непустые непересекающиеся множества.
- ↑ См. ( Hahn 1921 , стр. 85, сноска 1).
- ^ Хан (1921 , стр. 61, сноска 3), комментируя только что данное определение открытого множества («offene Menge»), точно заявляет: - « Vorher war, für diese Punktmengen die Bezeichnung« Gebiet »в Gebrauch, die wir (§ 5, S. 85) anders verwenden werden. »(Вольный перевод на английский: -« Раньше термин «Gebiet» иногда использовался для таких наборов точек, и он будет использоваться нами в (§ 5, с. 85) с другое значение ".
- ^ a b c См. (Miranda 1955 , p. 1, 1970 , p. 2).
- ^ Точнее, в первом издании своей монографии Миранда (1955 , стр. 1) использует итальянский термин « кампо », буквально означающий «поле», аналогично его значению в сельском хозяйстве : во втором издании книги Зейн К. Моттелер правильно переводит этот термин как «регион».
- ^ Внутренне связанный набор - это набор, внутренняя часть которого связана.
- ^ См. ( Пиконе, 1922 , стр. 66) .
Рекомендации
- Carathéodory, Constantin (1918), Vorlesungen über reelle Funktionen (на немецком языке ) (. 1 - е изд), Лейпциг унд Берлин: BG Teubner Verlag , стр X + 704,. JFM 46.0376.12 , MR 0225940( обзор MR относится к третьему исправленному изданию).
- Хан, Ганс (1921), Theorie der reellen Funktionen. Erster Band (на немецком языке), Вена : Springer-Verlag , стр. VII + 600, doi : 10.1007 / 978-3-642-52624-4 , hdl : 2027 / pst.000003378601 , ISBN 978-3-642-52570-4, JFM 48.0261.09(в свободном доступе в Интернет-архиве ).
- Стивен Г. Кранц и Гарольд Р. Паркс (1999) Геометрия областей в пространстве , Биркхойзер.ISBN 0-8176-4097-5 .
- Миранда, Карло (1955), Equazioni all derivate parziali di tipo ellittico , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete - Neue Folge (на итальянском языке), Heft 2 (1-е изд.), Берлин - Геттинген - Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. VIII +222, MR 0087853 , Zbl 0065.08503.
- Миранда, Карло (1970) [1955], Уравнения в частных производных эллиптического типа , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete - 2 Folge, Band 2 (2-е исправленное издание), Берлин - Гейдельберг - Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. XII + 370, ISBN 978-3-540-04804-6, Руководство по ремонту 0284700 , Zbl 0198.14101, перевод с итальянского Зейна К. Моттелера.
- Picone, Мауро (1923), Lezioni ди Analisi infinitesimale (PDF) , Том 1 (на итальянском языке ), Parte Prima - La Derivazione, Катания : Circolo matematico ди Катания , с XII + 351,. JFM 49.0172.07(Обзор всего тома I) (доступен в " Edizione Nazionale Mathematica Italiana ").