В абстрактной алгебре , то эндоморфизмы А. Н. абелевой группы X образуют кольцо. Это кольцо называется кольцом эндоморфизмов X и обозначается End ( X ); множество всех гомоморфизмов из X в себя. Сложение эндоморфизмов естественно возникает точечно , а умножение - через композицию эндоморфизмов . Используя эти операции, множество эндоморфизмов абелевой группы образует (унитальное) кольцо с нулевым отображением как аддитивная идентичность и карта идентичности как мультипликативное тождество . [1] [2]
Используемые функции ограничены тем, что определяется как гомоморфизм в контексте, который зависит от категории рассматриваемого объекта. Следовательно, кольцо эндоморфизма кодирует несколько внутренних свойств объекта. Поскольку результирующий объект часто является алгеброй над некоторым кольцом R, его также можно назвать алгеброй эндоморфизмов .
Абелева группа - это то же самое, что модуль над кольцом целых чисел , которое является начальным кольцом. Аналогичным образом, если R - любое коммутативное кольцо , моноиды эндоморфизмов его модулей образуют алгебры над R по тем же аксиомам и выводам. В частности, если Р представляет собой поле Р , его модули M являются векторными пространства V и их кольца эндоморфизмов являются алгебрами над полем F .
Описание
Пусть ( , +) абелева группа , и мы рассмотрим гомоморфизмы группы из A Into A . Тогда добавление двух таких гомоморфизмов может быть определено поточечно, чтобы произвести другой гомоморфизм группы. Явно, учитывая два таких гомоморфизма f и g , сумма f и g является гомоморфизмом. При этой операции End ( A ) абелева группа. С дополнительной операцией композиции гомоморфизмов End ( A ) является кольцом с мультипликативной единицей. Эта композиция явно. Мультипликативный идентичность тождественный гомоморфизм на А .
Если множество A не образует абелеву группу, то указанная выше конструкция не обязательно является аддитивной , поскольку тогда сумма двух гомоморфизмов не обязательно должна быть гомоморфизмом. [3] Этот набор эндоморфизмов является каноническим примером почти кольца , которое не является кольцом.
Характеристики
- Кольца эндоморфизмов всегда имеют аддитивные и мультипликативные тождества , соответственно нулевое отображение и тождественное отображение .
- Кольца эндоморфизмов ассоциативны , но обычно некоммутативны .
- Если модуль простой , то его кольцо эндоморфизмов является телом (это иногда называют леммой Шура ). [4]
- Модуль неразложим тогда и только тогда, когда его кольцо эндоморфизмов не содержит нетривиальных идемпотентных элементов . [5] Если модуль является инъективным модулем , то неразложимость эквивалентна тому, что кольцо эндоморфизмов является локальным кольцом . [6]
- Для полупростого модуля кольцо эндоморфизмов является регулярным кольцом фон Неймана .
- Кольцо эндоморфизмов ненулевого цепного правого модуля имеет либо один, либо два максимальных правых идеала. Если модуль артинов, нетеров, проективен или инъективен, то кольцо эндоморфизмов имеет единственный максимальный идеал, так что оно является локальным кольцом.
- Кольцо эндоморфизмов артинова равномерного модуля является локальным кольцом. [7]
- Кольцо эндоморфизмов модуля конечной композиционной длины является полупримарным кольцом .
- Кольцо эндоморфизмов непрерывного или дискретного модуля является чистым кольцом . [8]
- Если R- модуль конечно порожден и проективен (т. Е. Прогенератор ), то кольцо эндоморфизмов модуля и R разделяют все инвариантные свойства Мориты. Фундаментальный результат теории Мориты состоит в том, что все кольца, эквивалентные R, возникают как кольца эндоморфизмов прообразователей.
Примеры
- В категории R- модулей кольцо эндоморфизмов R -модуля M будет использовать только гомоморфизмы R- модулей , которые обычно являются собственным подмножеством гомоморфизмов абелевых групп. [9] Когда M - конечно порожденный проективный модуль , кольцо эндоморфизмов является центральным для эквивалентности Морита категорий модулей.
- Для любой абелевой группы , , поскольку любая матрица в несет естественную структуру гомоморфизма следующим образом:
- Этот изоморфизм можно использовать для построения множества колец некоммутативных эндоморфизмов. Например: , поскольку .
- Кроме того, когда поле, существует канонический изоморфизм , так , т. е. кольцо эндоморфизмов -векторное пространство идентифицируются с кольцом п матрицы с размерностью п матрицами с элементами в . [10] В более общем смысле алгебра эндоморфизмов свободного модуля естественно -от- матрицы с элементами в кольце .
- В качестве конкретного примера последней точки, для любого кольца R с единицей, End ( R R ) = R , где элементы R действуют на R по левому умножению.
- В общем случае кольца эндоморфизмов можно определить для объектов любой преаддитивной категории .
Заметки
- ^ Fraleigh (1976 , стр. 211)
- ^ Пассман (1991 , стр. 4-5)
- ^ Даммит и Фут , стр. 347)
- ^ Якобсон 2009 , стр. 118.
- ^ Якобсон 2009 , стр. 111, Предложение 3.1.
- ^ Wisbauer 1991 , стр. 163.
- ^ Wisbauer 1991 , стр. 263.
- ^ Камилло и др. 2006 .
- ^ Абелевы группы можно также рассматривать как модули над кольцом целых чисел.
- ↑ Дрозд и Кириченко 1994 , стр. 23–31.
Рекомендации
- Камилло, ВП; Khurana, D .; Lam, TY; Николсон, WK; Чжоу, Y. (2006), "Непрерывные модули являются чистыми", Ж. Алгебра , 304 (1): 94-111, DOI : 10.1016 / j.jalgebra.2006.06.032 , ISSN 0021-8693 , МР 2255822
- Дрозд, Ю. А .; Кириченко, В.В. (1994), Конечномерные алгебры , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-53380-Х
- Даммит, Дэвид; Фут, Ричард, Алгебра
- Фрали, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
- "Кольцо эндоморфизмов" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , 2 (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47187-7
- Пассман, Дональд С. (1991), курс теории колец , Pacific Grove: Wadsworth & Brooks / Cole, ISBN 0-534-13776-8
- Висбауэр, Роберт (1991), « Основы теории модулей и колец» , «Алгебра, логика и приложения», 3 (пересмотренный и переведенный из немецкого изд. 1988 г.), Филадельфия, Пенсильвания: Издательство Gordon and Breach Science, стр. Xii + 606 , ISBN 2-88124-805-5, Руководство по ремонту 1144522 Справочник для учебы и исследований