Лемма о неподвижной точке для нормальных функций

С фиксированной точкой лемма для нормальных функций является основным результатом в аксиоматической теории множеств , о том , что любая нормальная функция имеет сколь угодно большой неподвижных точек (Леви 1979: стр . 117). Впервые это доказал Освальд Веблен в 1908 году.

Предпосылки и официальное заявление [ править ]

Нормальная функция является класс функций из класса Ord из порядковых чисел себе такой , что:${\ displaystyle f}$

• ${\ displaystyle f}$является строго возрастающей : всякий раз , когда .${\ Displaystyle е (\ альфа) <е (\ бета)}$${\ Displaystyle \ альфа <\ бета}$
• ${\ displaystyle f}$является непрерывным : для каждого предельного порядкового (т.е. не равно нулю или преемника), .${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle е (\ лямбда) = \ sup \ {е (\ альфа): \ альфа <\ лямбда \}}$

Можно показать, что если нормально, то коммутирует с супремой ; для любого непустого набора ординалов,${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle f(\sup A)=\sup f(A)=\sup\{f(\alpha ):\alpha \in A\}}$.

Действительно, если - порядковый номер-преемник, то является элементом, а равенство следует из возрастающего свойства . Если - предельный ординал, то равенство следует из непрерывного свойства .${\displaystyle \sup A}$${\displaystyle \sup A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sup A}$${\displaystyle f}$

Фиксированная точка нормальной функции является порядковым таким образом, что .${\displaystyle \beta }$${\displaystyle f(\beta )=\beta }$

Лемма о неподвижной точке утверждает, что класс неподвижных точек любой нормальной функции непуст и фактически неограничен: для любого ординала существует ординал такой, что и .${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta \geq \alpha }$${\displaystyle f(\beta )=\beta }$

Непрерывность нормальной функции означает, что класс неподвижных точек замкнут (верхняя грань любого подмножества класса неподвижных точек снова является неподвижной точкой). Таким образом, лемма о неподвижной точке эквивалентна утверждению, что неподвижные точки нормальной функции образуют замкнутый и неограниченный класс.

Доказательство [ править ]

Первым шагом доказательства является проверка того, что f (γ) ≥ γ для всех ординалов γ и что f коммутирует с супремумом. Учитывая эти результаты, индуктивно определите возрастающую последовательность <α _n > ( n <ω), положив α ₀ = α и α _{n +1} = f (α _n ) для n ∈ ω. Пусть β = sup {α _n  : n ∈ ω}, поэтому β ≥ α. Более того, поскольку f коммутирует с супремой,

f (β) = f (sup {α _n  : n <ω})

       = sup { f (α _n ): n <ω}

       = sup {α _{n +1}  : n <ω}

       = β.

Последнее равенство следует из того, что последовательность <α _n > возрастает. ${\displaystyle \square }$

Кроме того, можно продемонстрировать, что найденное таким образом β является наименьшей фиксированной точкой, большей или равной α.

Пример приложения [ править ]

Функция f  : Ord → Ord, f (α) = ω _α нормальна (см. Начальный ординал ). Таким образом, существует ординал θ такой, что θ = ω _θ . Фактически лемма показывает, что существует замкнутый неограниченный класс таких θ.

Ссылки [ править ]

• Леви, А. (1979). Основная теория множеств . Springer. ISBN 978-0-387-08417-6. Переиздано, Дувр, 2002.
• Веблен, О. (1908). «Непрерывно возрастающие функции конечных и трансфинитных ординалов» . Пер. Амер. Математика. Soc . 9 (3): 280–292. DOI : 10.2307 / 1988605 . ISSN  0002-9947 . JSTOR  1988605 . Доступно через JSTOR . CS1 maint: discouraged parameter (link)