Гауссова поверхность

Цилиндрическая гауссова поверхность обычно используется для расчета электрического заряда бесконечно длинного прямого «идеального» провода.

Гауссова поверхность (иногда сокращенно GS) представляет собой замкнутую поверхность в трехмерном пространстве , через которое поток из векторного поля вычисляется; обычно гравитационное поле , электрическое поле или магнитное поле. ^[1] Это произвольный замкнутая поверхность S = ∂ V ( граница из 3- х мерной области V ) , используемый в сочетании с законом Гаусса для соответствующего поля ( закон Гаусса , Ряда Гаусса или закон Гаусса для тяжести) путем выполнения поверхностного интеграла , чтобы вычислить общую сумму вложенного количества источника; например, количество гравитационной массы как источника гравитационного поля или количество электрического заряда как источника электростатического поля, или наоборот: вычислить поля для распределения источника.

Для конкретности в данной статье рассматривается электрическое поле, так как это наиболее частый тип поля, для которого используется понятие поверхности.

Гауссовы поверхности обычно тщательно выбираются, чтобы использовать симметрию ситуации, чтобы упростить вычисление поверхностного интеграла . Если гауссова поверхность выбрана так, чтобы для каждой точки на поверхности составляющая электрического поля вдоль вектора нормали была постоянной, то расчет не потребует сложного интегрирования, поскольку возникающие константы могут быть вычтены из интеграла. Он определяется как замкнутая поверхность в трехмерном пространстве, по которой вычисляется поток векторного поля.

Общие гауссовы поверхности [ править ]

Примеры действительных (слева) и недопустимых (справа) гауссовских поверхностей. Слева: некоторые допустимые гауссовы поверхности включают поверхность сферы, поверхность тора и поверхность куба. Это закрытые поверхности, которые полностью охватывают трехмерный объем. Справа: некоторые поверхности, которые НЕ МОГУТ использоваться в качестве гауссовых поверхностей, например поверхность диска , квадратная поверхность или поверхность полусферы. Они не полностью охватывают трехмерный объем и имеют границы (красные). Обратите внимание, что бесконечные плоскости могут аппроксимировать гауссовы поверхности.

Большинство расчетов с использованием гауссовых поверхностей начинается с реализации закона Гаусса (для электричества): ^[2]

${\ Displaystyle \ Phi _ {E} = \, \!}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle S \!}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} \; \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A} = {\ frac {Q _ {\ text {enc}}} {\ varepsilon _ {0}}}. \, \! }$

Таким образом, Q _enc - это электрический заряд, заключенный в гауссовой поверхности.

Это закон Гаусса, сочетающий в себе теорему о расходимости и закон Кулона .

Сферическая поверхность [ править ]

Сферическая гауссова поверхность используется при нахождении электрического поля или поток , полученный любым из следующих: ^[3]

• точечный заряд
• равномерно распределенная сферическая оболочка заряда
• любое другое распределение заряда со сферической симметрией

Сферическая гауссова поверхность выбрана так, чтобы она была концентричной с распределением заряда.

В качестве примера рассмотрит заряженную сферическую оболочку S в незначительной толщине, с равномерно распределенным зарядом Q и радиусом R . Мы можем использовать закон Гаусса, чтобы найти величину результирующего электрического поля E на расстоянии r от центра заряженной оболочки. Сразу очевидно, что для сферической гауссовой поверхности радиуса r < R заключенный в нее заряд равен нулю: следовательно, чистый поток равен нулю, и величина электрического поля на гауссовой поверхности также равна 0 (если положить Q _A = 0 в гауссовой шкале). закон, где Q _A - заряд, заключенный в гауссовой поверхности).

В том же примере, используя большую гауссовскую поверхность вне оболочки, где r > R , закон Гаусса создаст ненулевое электрическое поле. Это определяется следующим образом.

Поток со сферической поверхности S равен:

${\ Displaystyle \ Phi _ {E} = \, \!}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ partial S \, \!}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} \ cdot d \ mathbf {A} = \ int \! \! \! \! \ int _ {c} EdA \ cos 0 ^ {\ circ} = E \ int \! \! \! \! \ int _ {S} dA \, \!}$

Площадь поверхности сферы радиуса r равна

${\ Displaystyle \ int \! \! \! \! \ int _ {S} dA = 4 \ pi r ^ {2}}$

что подразумевает

${\ displaystyle \ Phi _ {E} = E4 \ pi r ^ {2}}$

По закону Гаусса поток также

${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}}$

наконец, приравнивание выражения для Φ _E дает величину E- поля в позиции r :

${\displaystyle E4\pi r^{2}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {Q_{A}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}.}$

Этот нетривиальный результат показывает, что любое сферическое распределение заряда действует как точечный заряд, если наблюдать за распределением заряда снаружи; это фактически проверка закона Кулона . И, как уже упоминалось, никакие внешние расходы не учитываются.

Цилиндрическая поверхность [ править ]

Цилиндрическая гауссова поверхность используется при нахождении электрического поля или поток , полученный любым из следующих: ^[3]

• бесконечно длинная линия однородного заряда
• бесконечная плоскость однородного заряда
• бесконечно длинный цилиндр однородного заряда

В качестве примера ниже приводится «поле около бесконечного линейного заряда»;

Рассмотрим точку P на расстоянии r от бесконечного линейного заряда, имеющего плотность заряда (заряд на единицу длины) λ. Представьте себе замкнутую поверхность в виде цилиндра, осью вращения которого является линейный заряд. Если h - длина цилиндра, то заряд, заключенный в цилиндре, равен

${\displaystyle q=\lambda h}$,

где q - заряд, заключенный в гауссовой поверхности. Как показано на рисунке, есть три поверхности a , b и c . Площадь дифференциального вектора равна d A на каждой поверхности a , b и c .

Прохождение потока состоит из трех составляющих:

${\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}$ ${\displaystyle \scriptstyle A\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\!\int _{a}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\int \!\!\!\!\int _{b}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\int \!\!\!\!\int _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }$

Для поверхностей a и b, E и d A будут перпендикулярны . Для поверхности c, E и d A будут параллельны , как показано на рисунке.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{E}&=\int \!\!\!\!\int _{a}EdA\cos 90^{\circ }+\int \!\!\!\!\int _{b}EdA\cos 90^{\circ }+\int \!\!\!\!\int _{c}EdA\cos 0^{\circ }\\&=E\int \!\!\!\!\int _{c}dA\\\end{aligned}}}$

Площадь поверхности цилиндра равна

${\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{c}dA=2\pi rh}$

что подразумевает

${\displaystyle \Phi _{E}=E2\pi rh}$

По закону Гаусса

${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}$

приравнивая для Φ _E, получаем

${\displaystyle E2\pi rh={\frac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}r}}}$

Гауссовский дот [ править ]

Эта поверхность чаще всего используется для определения электрического поля из-за бесконечного слоя заряда с однородной плотностью заряда или слоя заряда с некоторой конечной толщиной. ДОТ имеет цилиндрическую форму и может рассматриваться как состоящий из трех компонентов: диска на одном конце цилиндра с площадью πR², диска на другом конце с равной площадью и стороны цилиндра. Сумма электрического потокачерез каждый компонент поверхности пропорционально вложенному заряду дота, как диктуется законом Гаусса. Поскольку поле вблизи листа можно приблизительно считать постоянным, дот ориентирован таким образом, чтобы силовые линии проходили через диски на концах поля под перпендикулярным углом, а сторона цилиндра была параллельна силовым линиям. .

См. Также [ править ]

• Область
• Площадь поверхности
• Векторное исчисление
• Интеграция
• Теорема о расходимости
• Клетка Фарадея
• Теория поля
• Полевая линия

Ссылки [ править ]

• Перселл, Эдвард М. (1985). Электричество и магнетизм . Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-004908-4.
• Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.) . Вайли. ISBN 0-471-30932-X.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Электромагнетизм (2-е издание) , IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9 

Внешние ссылки [ править ]

• Поля - глава из онлайн-учебника