Серия Hahn

В математике , серия Hahn (иногда называемая также серия Хан-мальцевский-Нейман ) представляют собой тип формального бесконечного ряда. Они являются обобщением рядов Пюизо (сами по себе являются обобщением формальных степенных рядов ) и были впервые введены Гансом Ханом в 1907 году ^[1] (а затем обобщены Анатолием Мальцевым и Бернхардом Нойманом на некоммутативную ситуацию). Они допускают произвольные показатели неопределенности до тех пор, пока поддерживающий их набор образует хорошо упорядоченное подмножество группы значений (обычно или${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$). Ряды Хана были сначала введены как группы в ходе доказательства теоремы вложения Хана, а затем изучены им как поля в своем подходе к семнадцатой проблеме Гильберта .

Формулировка [ править ]

Поле ряда Хана (в неопределенном T ) над полем K и с группой значений Γ (упорядоченная группа) - это множество формальных выражений вида${\ Displaystyle К \ влево [\ влево [T ^ {\ Gamma} \ вправо] \ вправо]}$

${\ displaystyle f = \ sum _ {е \ in \ Gamma} c_ {e} T ^ {e}}$

с , что носитель из F является вполне упорядоченным . Сумма и произведение${\ displaystyle c_ {e} \ in K}$${\displaystyle \operatorname {supp} f:=\{e\in \Gamma :c_{e}\neq 0\}}$

${\displaystyle f=\sum _{e\in \Gamma }c_{e}T^{e}}$ а также ${\displaystyle g=\sum _{e\in \Gamma }d_{e}T^{e}}$

даны

${\displaystyle f+g=\sum _{e\in \Gamma }(c_{e}+d_{e})T^{e}}$

а также

${\displaystyle fg=\sum _{e\in \Gamma }\sum _{e'+e''=e}c_{e'}d_{e''}T^{e}}$

(в последнем случае сумма по таким значениям , что и конечна, потому что хорошо упорядоченный набор не может содержать бесконечную убывающую последовательность).${\displaystyle \sum _{e'+e''=e}\cdot }$${\displaystyle (e',e'')}$${\displaystyle c_{e'}\neq 0}$${\displaystyle d_{e''}\neq 0}$

Например, это ряд Хана (по любому полю), потому что множество рациональных чисел${\displaystyle T^{-1/p}+T^{-1/p^{2}}+T^{-1/p^{3}}+\cdots }$

${\displaystyle \left\{-{\frac {1}{p}},-{\frac {1}{p^{2}}},-{\frac {1}{p^{3}}},\ldots \right\}}$

упорядочен; это не ряд Пюизо, потому что знаменатели в экспонентах неограниченны. (И если базовое поле K имеет характеристику p , то этот ряд Хана удовлетворяет уравнению, поэтому он является алгебраическим над .)${\displaystyle X^{p}-X=T^{-1}}$${\displaystyle K(T)}$

Свойства [ править ]

Свойства оценочного поля [ править ]

Оценка ненулевого ряда Хана${\displaystyle v(f)}$

${\displaystyle f=\sum _{e\in \Gamma }c_{e}T^{e}}$

определяется как наименьшее такое, что (другими словами, наименьший элемент опоры ): это превращается в сферически полное значащее поле с группой значений и полем вычетов ( апостериорное обоснование терминологии). Фактически, если имеет нулевую характеристику, то с точностью до (неединственного) изоморфизма является единственным сферически полным значным полем с полем вычетов и группой значений . ^[2] Оценка определяет топологию на . Если , то v соответствует ультраметрическому абсолютному значению , относительно которого${\displaystyle e\in \Gamma }$${\displaystyle c_{e}\neq 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K[[T^{\Gamma }]]}$ ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle (K[[T^{\Gamma }]],v)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle v}$${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$${\displaystyle \Gamma \subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle |f|=\exp(-v(f))}$${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$- полное метрическое пространство . Однако, в отличие от формальных рядов Лорана или Пюизо, формальные суммы, используемые при определении элементов поля, не сходятся: в случае, например, абсолютные значения членов стремятся к 1 (поскольку их оценки имеют тенденцию к 0), поэтому ряд не сходится (такие ряды иногда называют «псевдосходящимися» ^[3] ).${\displaystyle T^{-1/p}+T^{-1/p^{2}}+T^{-1/p^{3}}+\cdots }$

Алгебраические свойства [ править ]

Если K алгебраически замкнуто (но не обязательно нулевой характеристики) и Γ делится, то алгебраически замкнуто. ^[4] Таким образом, алгебраическое замыкание содержится в , где - алгебраическое замыкание (когда K имеет нулевую характеристику, это в точности поле ряда Пюизо ): фактически, можно дать несколько аналогичное описание алгебраическое замыкание в положительной характеристике как подмножество . ^[5]${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$${\displaystyle K((T))}$${\displaystyle {\overline {K}}[[T^{\mathbb {Q} }]]}$${\displaystyle {\overline {K}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K((T))}$${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$

Если K является упорядоченным полем, то он полностью упорядочивается, делая неопределенное T бесконечно малым (больше 0, но меньше любого положительного элемента K ) или, что то же самое, используя лексикографический порядок коэффициентов ряда. Если K является вещественно замкнутых и Γ делится , то само вещественно замкнуто. ^[6] Этот факт можно использовать для анализа (или даже построения) поля сюрреалистических чисел (которое как упорядоченное поле изоморфно полю ряда Хана с действительными коэффициентами и группирует значения самих сюрреалистических чисел ^[7] ) .${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$

Если κ - бесконечный регулярный кардинал , можно рассмотреть подмножество, состоящее из рядов, опорное множество которых имеет мощность (строго) меньше κ : оказывается, что это также поле с теми же свойствами алгебраической замкнутости, что и полное : например, оно алгебраически замкнуто или вещественно замкнуто, когда K таково и Γ делится. ^[8]${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$${\displaystyle \{e\in \Gamma :c_{e}\neq 0\}}$${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$

Суммируемые семейства [ править ]

Суммируемые семейства [ править ]

Можно определить понятие суммируемых семейств в . Если является набором и является семейством рядов Хана , то мы говорим, что это суммируемое, если набор хорошо упорядочен и каждое множество для конечно.${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$${\displaystyle I}$${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle f_{i}\in K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle \bigcup \limits _{i\in I}\operatorname {supp} f_{i}\subset \Gamma }$${\displaystyle \{i\in I\ |\ e\in \operatorname {supp} f_{i}\}}$${\displaystyle e\in \Gamma }$

Затем мы можем определить сумму как ряд Хана${\displaystyle \sum \limits _{i\in I}f_{i}}$

${\displaystyle \sum \limits _{i\in I}f_{i}:=\sum \limits _{e\in \Gamma }(\sum \limits _{i\in I}f_{i}(e))T^{e}}$

.

Если суммируемы, то и семейства суммируемы, и мы имеем ^[9]${\displaystyle (f_{i})_{i\in I},(g_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle (f_{i}+g_{i})_{i\in I},(f_{i}g_{j})_{(i,j)\in I\times I}}$

${\displaystyle \sum \limits _{i\in I}f_{i}+g_{i}=\sum \limits _{i\in I}f_{i}+\sum \limits _{i\in I}g_{i}}$

а также

${\displaystyle \sum \limits _{(i,j)\in I\times I}f_{i}g_{j}=(\sum \limits _{i\in I}f_{i})(\sum \limits _{i\in I}g_{i})}$

.

Это понятие суммируемого семейства не соответствует понятию сходимости в топологии оценки на . Например, в семейство суммируемо, но последовательность не сходится.${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$${\displaystyle \mathbb {Q} \left[\left[T^{\mathbb {Q} }\right]\right]}$${\displaystyle (T^{\frac {n}{n+1}}+T^{n+1})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (\sum \limits _{k\leq n}T^{\frac {k}{k+1}}+T^{k+1})_{n\in \mathbb {N} }}$

Оценка аналитических функций [ править ]

Обозначим через <и кольцо вещественнозначных функций, аналитических в окрестности .${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}}$${\displaystyle a}$

Если содержит , то мы можем оценить каждый элемент из в каждом элементе формы , где оценка строго положительна. В самом деле, семейство всегда суммируемо ^[10], поэтому мы можем определить . Это определяет морфизм колец .${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}}$${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$${\displaystyle a+\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle ({\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\varepsilon ^{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle f(a+\varepsilon ):=\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\varepsilon ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}\longrightarrow K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$

Серия Хана – Витта [ править ]

Построение рядов Хана может быть объединено с векторами Витта (по крайней мере, над совершенным полем ), чтобы образовать скрученные ряды Хана или ряды Хана – Витта : ^[11] например, над конечным полем K характеристики p (или их алгебраическое замыкание) , поле ряда Хана – Витта с группой значений Γ (содержащее целые числа) было бы набором формальных сумм, в котором теперь есть представители Тейхмюллера (элементов K ), которые умножаются и складываются таким же образом, как и в случае обычные векторы Витта (который получается, когда Γ${\displaystyle \sum _{e\in \Gamma }c_{e}p^{e}}$${\displaystyle c_{e}}$- группа целых чисел). Когда Γ - группа рациональных чисел или вещественных чисел, а K - алгебраическое замыкание конечного поля с p элементами, эта конструкция дает (ультра) метрически полное алгебраически замкнутое поле, содержащее p -адики, следовательно, более или менее явное описание поле или его сферическое завершение. ^[12]${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$

Примеры [ править ]

• Поле из формальных рядов Лорана над может быть описано как .${\displaystyle K((T))}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K[[T^{\mathbb {Z} }]]}$
• Поле сюрреалистических чисел можно рассматривать как поле ряда Хана с действительными коэффициентами, а значения группируют сами сюрреалистические числа. ^[13]
• Поле Леви-Чивита можно рассматривать как подполе , с дополнительным наложением, что коэффициенты должны быть левым конечным множеством : набор коэффициентов, меньших данного коэффициента , конечно.${\displaystyle \mathbb {R} [[T^{\mathbb {Q} }]]}$${\displaystyle c_{q}}$
• Поле транссерий представляет собой направленное объединение полей Хана (и является расширением поля Леви-Чивиты). Конструкция напоминает (но не в буквальном смысле) , .${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle T_{0}=\mathbb {R} }$${\displaystyle T_{n+1}=\mathbb {R} \left[\left[\varepsilon ^{T_{n}}\right]\right]}$

См. Также [ править ]

• Рациональная серия

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Хан, Ханс (1907), "Убер умереть nichtarchimedischen Größensysteme", Sitzungsberichte дер Kaiserlichen Akademie дер Wissenschaften, Wien, Mathematisch - Naturwissenschaftliche Klasse (Вена Ber. , .) , 116 : 601-655, СУЛ  38.0501.01(перепечатано в: Hahn, Hans (1995), Gesammelte Abhandlungen I , Springer-Verlag)
• Маклейна, Saunders (1939), "Универсальность полей формальных степенных рядов" , Бюллетень Американского математического общества , 45 : 888-890, DOI : 10,1090 / s0002-9904-1939-07110-3 , Zbl  0022,30401
• Капланский, Ирвинг (1942), "Максимальные поля с оценками I" , Duke математический журнал , 9 : 303-321, DOI : 10,1215 / s0012-7094-42-00922-0
• Аллинг, Норман Л. (1987). Основы анализа сюрреалистических числовых полей . Математические исследования. 141 . Северная Голландия. ISBN 0-444-70226-1. Zbl  0621.12001 .
• Пунен, Бьорн (1993), "Максимально полные поля", L'Enseignement mathématique , 39 : 87–106, Zbl  0807.12006
• Kedlaya, Кираны Шридхар (2001), «Алгебраическое замыкание поля степенного ряда в положительной характеристике», Труды Американского математического общества , 129 : 3461-3470, DOI : 10,1090 / S0002-9939-01-06001-4
• Кедлая, Киран Шридхара (2001), «Степенные ряды и-адические алгебраические замыкания», Журнал теории чисел , 89 : 324–339, arXiv : math / 9906030 , doi : 10.1006 / jnth.2000.2630
• Хевен, ван дер, Джорис (2001), "Операторы на обобщенных степенных рядов", Иллинойс Журнал математики , 45 , DOI : 10,1215 / IJM / 1258138061
• Нойман, Бернхард Герман (1949), "Об упорядоченных делительных кольцах", Труды Американского математического общества , 66 : 202–252