Серия Puiseux

Эта статья может быть слишком технической для понимания большинством читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технических деталей. ( Апрель 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , ряд Пюиза является обобщением степенных рядов , которые позволяют отрицательному и дробные показатели в неопределенном Т . Впервые они были введены Исааком Ньютоном в 1676 году ^[1] и повторно открыты Виктором Пюизо в 1850 году. ^[2] Например, серия

${\ displaystyle T ^ {- 2} + 2T ^ {- 1/2} + T ^ {1/3} + 2T ^ {11/6} + T ^ {8/3} + 2T ^ {25/6} + T ^ {5} + 2T ^ {13/2} + \ cdots}$

представляет собой серию Пюизё в  T .

Теорема Пюизо , иногда также называемая теоремой Ньютона – Пюизо , утверждает, что для данного полиномиального уравнения его решения по y , рассматриваемые как функции от x , могут быть разложены в ряды Пюизо, сходящиеся в некоторой окрестности начала координат (за исключением 0, в случае решения, стремящегося к бесконечности в нуле). Другими словами, каждая ветвь алгебраической кривой может быть локально (в терминах x ) описана рядом Пюизо.${\displaystyle P(x,y)=0}$

Множество рядов Пюизо над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 само является алгебраически замкнутым полем, называемым полем рядов Пюизо . Это алгебраическое замыкание в поле формальных рядов Лорана . Это утверждение также упоминается как теорема Пюизо , являясь выражением исходной теоремы Пюизо на современном абстрактном языке. Ряды Пюизе обобщены сериями Хана .

Формальное определение [ править ]

Если K - поле (такое как комплексные числа ), то мы можем неформально определить поле ряда Пюизо с коэффициентами в K как набор выражений вида

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

где - натуральное число, а - произвольное целое число. Другими словами, ряды Пюизо отличаются от рядов Лорана тем, что они допускают дробные показатели неопределенности, если эти дробные показатели имеют ограниченный знаменатель (здесь n ). Как и в случае с рядами Лорана, ряды Пюизо допускают отрицательные показатели неопределенности, если эти отрицательные показатели ограничены снизу (здесь ). Сложение и умножение соответствуют ожиданиям: например, ${\displaystyle n}$${\displaystyle k_{0}}$${\displaystyle k_{0}}$

${\displaystyle (T^{-1}+2T^{-1/2}+T^{1/3}+\cdots )+(T^{-5/4}-T^{-1/2}+2+\cdots )=T^{-5/4}+T^{-1}+T^{-1/2}+2+\cdots }$

и

${\displaystyle (T^{-1}+2T^{-1/2}+T^{1/3}+\cdots )\cdot (T^{-5/4}-T^{-1/2}+2+\cdots )=T^{-9/4}+2T^{-7/4}-T^{-3/2}+T^{-11/12}+4T^{-1/2}+\cdots }$.

Их можно определить, сначала «модернизируя» знаменатель показателей до некоторого общего знаменателя N, а затем выполняя операцию в соответствующем поле формального ряда Лорана .${\displaystyle T^{1/N}}$

Другими словами, поле ряда Пюизо с коэффициентами в K представляет собой объединение полей (где n пробегает целые положительные числа), где каждый элемент объединения является полем формального ряда Лорана по (рассматриваемым как неопределенный), и где каждое такое поле рассматривается как подполе тех, у которых больше n, путем переписывания дробных показателей для использования большего знаменателя (так, например, идентифицируется с ). ^{[ требуется разъяснение ]}${\displaystyle K(\!(T^{1/n})\!)}$${\displaystyle T^{1/n}}$${\displaystyle T^{1/2}}$${\displaystyle T^{15/30}}$

Это дает формальное определение поля ряда Пюизо: это прямой предел прямой системы, индексированной по ненулевым натуральным числам n, упорядоченным по делимости , объектами которой являются все (поле формальных рядов Лорана, которое мы переписываем что касается ясности), с морфизмом , задаваемым, когда m делит n , на .${\displaystyle K(\!(T)\!)}$${\displaystyle K(\!(T_{n})\!)}$${\displaystyle K(\!(T_{m})\!)\to K(\!(T_{n})\!)}$${\displaystyle T_{m}\mapsto (T_{n})^{n/m}}$

Оценка и порядок [ править ]

Ряд Пюизо над полем K формирует значимое поле с группой значений ( рациональными числами ): оценка ряда${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle v(f)}$

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

как указано выше, определяется как наименьшее рациональное число, такое что коэффициент при члене с показателем не равен нулю (с обычным соглашением, что оценка 0 равна + ∞). Коэффициент о котором идет речь , как правило , называют коэффициентом оценки из  F .${\displaystyle k/n}$${\displaystyle c_{k}}$${\displaystyle k/n}$${\displaystyle c_{k}}$

Эта оценка, в свою очередь, определяет (инвариантное к переносу) расстояние (которое является ультраметрическим ), следовательно, топологию на поле рядов Пюизо, допуская расстояние от f до 0 . Это апостериори оправдывает обозначение${\displaystyle \exp(-v(f))}$

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

поскольку рассматриваемый ряд действительно сходится к f в поле рядов Пюизо (в отличие от ряда Хана, которые нельзя рассматривать как сходящиеся ряды).

Если основное поле К будет приказан , то поле серии Пюизё над K также естественно ( « лексический ») упорядочено следующим образом : а Пюизё серии ненулевых е с 0 объявляются плюсовые всякий раз , когда его коэффициент оценки так. По существу, это означает , что любое положительное рациональное мощность неопределенного Т выполнена положительно, но меньше любой положительный элемент в базовом поле K .

Если базовое поле K наделено оценкой w , то мы можем построить другую оценку на поле ряда Пюизо над K , позволив оценке быть, где - ранее определенная оценка ( является первым ненулевым коэффициентом), а ω - бесконечно большим (другими словами, значение группы IS лексикографически, где Γ есть значение группы ш ). По сути, это означает, что ранее определенная оценка v корректируется на бесконечно малую сумму, чтобы учесть оценку w, заданную в базовом поле.${\displaystyle {\hat {w}}(f)}$${\displaystyle \omega \cdot v+w(c_{k}),}$${\displaystyle v=k/n}$${\displaystyle c_{k}}$${\displaystyle {\hat {w}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} \times \Gamma }$

Алгебраическая замкнутость рядов Пюизо [ править ]

Одним существенное свойство серии Пюизё выражается следующей теоремой, приписывается Пюизё ^[2] (для ) , но который был неявным в Newton использовании «ы из многоугольника Ньютона уже в 1671 ^[3] и , следовательно , известном либо как теореме Пюизё или как теорема Ньютона – Пюизо: ^[4]${\displaystyle K=\mathbb {C} }$

Теорема : Если К алгебраически замкнутое поле характеристики нуль, то поле серии Пюизё над K является алгебраическим замыканием поля формальных рядов Лорана над K . ^[5]

Грубо говоря, доказательство по существу проводится путем изучения многоугольника Ньютона уравнения и извлечения коэффициентов один за другим с использованием оценочной формы метода Ньютона . Если алгебраические уравнения могут быть решены алгоритмически в базовом поле K , то коэффициенты решений ряда Пюизо могут быть вычислены в любом заданном порядке.

Например, уравнение имеет решения${\displaystyle X^{2}-X=T^{-1}}$

${\displaystyle X=T^{-1/2}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}T^{1/2}-{\frac {1}{128}}T^{3/2}+\cdots }$

и

${\displaystyle X=-T^{-1/2}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{8}}T^{1/2}+{\frac {1}{128}}T^{3/2}+\cdots }$

(по первым нескольким членам легко проверить, что сумма и произведение этих двух рядов равны 1 и соответственно; это верно, если базовое поле K имеет характеристику, отличную от 2).${\displaystyle -T^{-1}}$

Поскольку степени двойки в знаменателях коэффициентов в предыдущем примере могут заставить поверить, утверждение теоремы неверно в положительной характеристике. Пример уравнения Артина – Шрайера показывает это: рассуждения с оценками показывают, что X должен иметь оценку , и если мы перепишем ее как тогда${\displaystyle X^{p}-X=T^{-1}}$${\displaystyle -{\frac {1}{p}}}$${\displaystyle X=T^{-1/p}+X_{1}}$

${\displaystyle X^{p}=T^{-1}+{X_{1}}^{p},{\text{ so }}{X_{1}}^{p}-X_{1}=T^{-1/p}}$

и аналогично показывает, что должно иметь оценку , и, продолжая таким образом, получается ряд${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle -{\frac {1}{p^{2}}}}$

${\displaystyle T^{-1/p}+T^{-1/p^{2}}+T^{-1/p^{3}}+\cdots ;}$

поскольку этот ряд не имеет смысла как ряд Пюизо - поскольку показатели имеют неограниченные знаменатели - исходное уравнение не имеет решения. Однако такие уравнения Эйзенштейна являются, по сути, единственными, не имеющими решения, потому что, если K алгебраически замкнуто с характеристикой p > 0, то поле рядов Пюизо над K является совершенным замыканием максимального ручно разветвленного расширения . ^[4]${\displaystyle K(\!(T)\!)}$

Точно так же и в случае алгебраического замыкания, имеется аналогичная теорема для реального закрытия : если K является реальным замкнутым полем, тем поле серии Пюизё над K является реальным замыканием поля формальных рядов Лорана над K . ^[6] (Отсюда следует первая теорема, поскольку любое алгебраически замкнутое поле характеристики нуль является единственным квадратичным расширением некоторого вещественно-замкнутого поля.)

Аналогичный результат существует и для p-адического замыкания : если K - p -адически замкнутое поле относительно нормирования w , то поле рядов Пюизо над K также p -адически замкнуто. ^[7]

Разложение Пюизо алгебраических кривых и функций [ править ]

Алгебраические кривые [ править ]

Пусть X - алгебраическая кривая ^[8], заданная аффинным уравнением над алгебраически замкнутым полем K характеристики нуль, и рассмотрим точку p на X, которую мы можем считать равной (0,0). Мы также предполагаем, что X не является координатной осью x  = 0. Тогда расширение Пюизо ( координаты y ) X в точке p является рядом Пюизо f, имеющим положительное значение, такое что .${\displaystyle F(x,y)=0}$${\displaystyle F(x,f(x))=0}$

Точнее, давайте определим ветви из X на р быть точки д о нормализации Y из X , отображающих к р . Для каждого такого д , существует локальная координата т из Y в Q (который является гладкой точкой) таким образом, что координаты х и у могут быть выражены в виде формальных степенных рядов т , скажем , (так как К алгебраически замкнуто, можно предположить , коэффициент оценки должен быть 1) и${\displaystyle x=t^{n}+\cdots }$${\displaystyle y=ct^{k}+\cdots }$: тогда существует уникальный ряд Пюизо вида (степенной ряд по ) такой, что (последнее выражение имеет смысл, поскольку является четко определенным степенным рядом по t ). Это расширение Пюизо X в точке p, которое, как говорят, связано с ветвью, заданной q (или просто расширением Пюизо этой ветви X ), и каждое разложение Пюизо X в точке p дается таким образом для единственная ветвь X в p . ^{[9] [10]}${\displaystyle f=cT^{k/n}+\cdots }$${\displaystyle T^{1/n}}$${\displaystyle y(t)=f(x(t))}$${\displaystyle x(t)^{1/n}=t+\cdots }$

Это существование формальной параметризации ветвей алгебраической кривой или функции также упоминается как теорема Пюизо : она, возможно, имеет то же математическое содержание, что и тот факт, что поле ряда Пюизо является алгебраически замкнутым и является исторически более точным описанием исходное авторское заявление. ^[11]

Например, кривая (чья нормализация представляет собой линию с координатой t и карту ) имеет две ветви в двойной точке (0,0), соответствующие точкам t  = +1 и t  = −1 на нормализации, чьи разложения Пюизо являются и соответственно (здесь оба являются степенными рядами, потому что координата x этальна в соответствующих точках нормализации). В гладкой точке (−1,0) (которая равна t  = 0 в нормализации) она имеет единственную ветвь, заданную разложением Пюизо ( координата x в этой точке разветвляется, так что это не степенной ряд).${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x^{2}}$${\displaystyle t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)}$${\displaystyle y=x+{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{8}}x^{3}+\cdots }$${\displaystyle y=-x-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{8}}x^{3}+\cdots }$${\displaystyle y=-(x+1)^{1/2}+(x+1)^{3/2}}$

Кривая (чья нормализация снова является линией с координатой t и картой ), с другой стороны, имеет единственную ветвь в точке возврата (0,0), чье расширение Пюизо равно .${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$${\displaystyle t\mapsto (t^{2},t^{3})}$${\displaystyle y=x^{3/2}}$

Аналитическая конвергенция [ править ]

Когда - поле комплексных чисел, разложение Пюизо алгебраической кривой (как определено выше) сходится в том смысле, что для данного выбора корня n-й степени из x они сходятся для достаточно малых , следовательно, определяют аналитическую параметризацию каждая ветвь X в окрестности p (точнее, параметризация осуществляется корнем n-й степени из x ).${\displaystyle K=\mathbb {C} }$${\displaystyle |x|}$

Обобщения [ править ]

Поле Леви-Чивита [ править ]

Поле серии Пюизо не является полным как метрическое пространство . Его завершение, называемое полем Леви-Чивиты , можно описать следующим образом: это поле формальных выражений формы, где опорой коэффициентов (то есть, набор e, такой что ) является диапазоном возрастающей последовательности рациональных чисел, которая либо конечна, либо стремится к + ∞. Другими словами, такие ряды допускают показатели неограниченных знаменателей, при условии , есть конечное число членов показателя меньше , чем А для любого заданного связанного A . Например, это не серия Пюизо, а предел последовательности Коши.${\displaystyle f=\sum _{e}c_{e}T^{e},}$${\displaystyle c_{e}\neq 0}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{+\infty }T^{k+{\frac {1}{k}}}}$серии Puiseux; в частности, это предел as . Однако даже это пополнение по-прежнему не является «максимально полным» в том смысле, что оно допускает нетривиальные расширения, которые представляют собой поля со значениями, имеющие одну и ту же группу значений и поле вычетов, ^{[12] [13],} следовательно, возможность дополнить его еще больше.${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}T^{k+{\frac {1}{k}}}}$${\displaystyle N\to +\infty }$

Серия Хана [ править ]

Ряды Хана являются дальнейшим (более крупным) обобщением рядов Пюизо, введенных Гансом Ханом в ходе доказательства его теоремы вложения в 1907 году и затем изученных им в его подходе к семнадцатой проблеме Гильберта . В рядах Хана вместо того, чтобы требовать, чтобы показатели имели ограниченный знаменатель, они должны формировать упорядоченное подмножество группы значений (обычно или ). Позднее они были обобщены Анатолием Мальцевым и Бернхардом Нейманом на некоммутативную ситуацию (поэтому их иногда называют рядами Хана – Мальцева – Неймана.${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$). Используя ряды Хана, можно дать описание алгебраического замыкания поля степенного ряда в положительной характеристике, которое в некоторой степени аналогично полю ряда Пюизо. ^[14]

Примечания [ править ]

См. Также [ править ]

• Серия Laurent
• Серия Мадхава
• Интерполяция разделенной разности Ньютона
• Аппроксимация Паде

Ссылки [ править ]

• Басу, Саугата; Поллак, Ричард; Рой, Мари-Франсуаза (2006). Алгоритмы в реальной алгебраической геометрии . Алгоритмы и вычисления в математике 10 (2-е изд.). Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / 3-540-33099-2 . ISBN 978-3-540-33098-1.
• Черлин, Грег (1976). Избранные темы теоретико-модельной алгебры . Конспект лекций по математике 521. Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-07696-4.^{[ мертвая ссылка ]}
• Каткоски, Стивен Дейл (2004). Разрешение особенностей . Аспирантура по математике 63. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3555-6.
• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии . Тексты для выпускников по математике 150. Springer-Verlag . ISBN 3-540-94269-6.
• Кедлая, Киран Шридхара (2001). «Алгебраическое замыкание поля степенного ряда в положительной характеристике» . Proc. Амер. Математика. Soc . 129 : 3461–3470. DOI : 10.1090 / S0002-9939-01-06001-4 .
• Ньютон, Исаак (1736) [1671], Метод потоков и бесконечных рядов; с его применением к геометрии кривых-линий , переведено Колсоном, Джоном , Лондон: Генри Вудфолл, стр. 378 (В переводе с латыни)
• Ньютон, Исаак (1960). «письмо в Ольденбург от 24 октября 1676 года». Переписка Исаака Ньютона . II . Издательство Кембриджского университета. С.  126–127 . ISBN 0-521-08722-8.
• Пюизо, Виктор Александр (1850). "Recherches sur les fonctions algébriques" (PDF) . J. Math. Pures Appl . 15 : 365–480.
• Пюизо, Виктор Александр (1851). "Новые исследования сюр ле fonctions algébriques" (PDF) . J. Math. Pures Appl . 16 : 228–240.
• Шафаревич, Игорь Ростиславович (1994). Основы алгебраической геометрии (2-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-54812-2.
• Уокер, Р.Дж. (1978). Алгебраические кривые (PDF) (Перепечатка ред.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-90361-5.

Внешние ссылки [ править ]

• "Точка ветвления" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Серия Puiseux в MathWorld
• Теорема Пюизо в MathWorld
• Серия Puiseux в PlanetMath