Индуктивный размер

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Найти источники:  «Индуктивное измерение»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июль 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математической области топологии , то индуктивная размерность из топологического пространства X является либо из двух значений, то малая индуктивная размерность Ind ( X ) или большой индуктивной размерности Ind ( X ). Они основаны на наблюдении , что в п - мерное евклидово пространство R ^п ( п  - 1) -мерные сферы (то есть, границы из п - мерных шаров) имеют размерность п  - 1. Следовательно , она должна быть возможность определить размер пространстваиндуктивно по размерам границ подходящих открытых множеств .

Малая и большая индуктивные размерности - это два из трех наиболее распространенных способов уловить понятие «размерности» для топологического пространства способом, который зависит только от топологии (а не, скажем, от свойств метрического пространства ). . Другой - размерность покрытия Лебега . Термин «топологическая размерность» обычно понимается как относящийся к покрывающей размерности Лебега. Для «достаточно хороших» пространств три меры размерности равны.

Формальное определение [ править ]

Мы хотим, чтобы размер точки был равен 0, а точка имела пустую границу, поэтому мы начинаем с

${\ displaystyle \ operatorname {ind} (\ varnothing) = \ operatorname {Ind} (\ varnothing) = - 1}$

Тогда индуктивно, Ind ( X ) является наименьшим п , такие , что для любого и каждого открытого множества U , содержащего х , существует открытое множество V , содержащее х , таких , что замыкание из V представляет собой подмножество из U , а граница V имеет небольшую индуктивную размерность, меньшую или равную n  - 1. (Если X - евклидово n- мерное пространство, V можно выбрать как n -мерный шар с центром в x .)${\ displaystyle x \ in X}$

Для большой индуктивной размерности мы еще больше ограничиваем выбор V ; Ind ( X ) - наименьшее n такое, что для каждого замкнутого подмножества F любого открытого подмножества U в X существует открытое V между ними (то есть F является подмножеством V, а замыкание V является подмножеством U ), так что граница V имеет большой индуктивный размер, меньший или равный n  - 1.

Связь между измерениями [ править ]

Позвольте быть размерность покрытия Лебега. Для любого топологического пространства X имеем${\ displaystyle \ dim}$

${\ displaystyle \ dim X = 0}$ если и только если ${\ displaystyle \ operatorname {Ind} X = 0.}$

Теорема Урысона утверждает, что когда X - нормальное пространство со счетной базой , то

${\ displaystyle \ dim X = \ operatorname {Ind} X = \ operatorname {ind} X.}$

Такие пространства в точности являются сепарабельными и метризуемыми X (см . Теорему Урысона о метризации ).

Затем теорема Небелинга – Понтрягина утверждает, что такие пространства конечной размерности характеризуются с точностью до гомеоморфизма как подпространства евклидовых пространств с их обычной топологией. Теорема Менгера – Небелинга (1932) утверждает, что если метрика является сепарабельной и имеет размерность , то она вкладывается как подпространство евклидова пространства размерности . ( Георг Небелинг был учеником Карла Менгера . Он ввел пространство Небелинга - подпространство, состоящее из точек, по крайней мере, координаты которых являются иррациональными числами , которое обладает универсальными свойствами для вложения пространств размерности .)${\ displaystyle X}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2n + 1}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {2n + 1}}$${\ displaystyle n + 1}$${\ displaystyle n}$

Предполагая, что только X метризуемый, мы имеем ( Мирослав Катетов )

ind X ≤ Ind X = dim X ;

или в предположении X compact и Хаусдорфа ( П.С. Александров )

тусклый Х ≤ Ind Х ≤ пром Х .

Либо неравенство здесь может быть строгим; пример Владимира В. Филиппова показывает, что два индуктивных размера могут различаться.

Сепарабельное метрическое пространство X удовлетворяет неравенству тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого подпространства пространства и каждого непрерывного отображения существует непрерывное расширение .${\ displaystyle \ operatorname {Ind} X \ leq n}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f: от A \ до S ^ {n}}$${\ displaystyle {\ bar {f}}: от X \ до S ^ {n}}$

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Крилли, Тони, 2005 г., «Пол Урысон и Карл Менгер: статьи по теории размерности» в издании Grattan-Guinness, I. , Landmark Writings in Western Mathematics . Эльзевьер: 844-55.
• Энгелькинг Р. Теория измерений. Конечное и бесконечное , Heldermann Verlag (1995), ISBN  3-88538-010-2 .
• В. В. Федорчук, Основы теории размерностей , опубликованные в Энциклопедии математических наук, том 17, Общая топология I , (1993) А. В. Архангельский и Л. С. Понтрягин (ред.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178- 4 . 
• Филиппов В. В. Об индуктивной размерности изделия из бикомпакта . Математика. Докл., 13 (1972), N ° 1, 250-254.
• А. Р. Пирс, Теория размерностей общих пространств , Издательство Кембриджского университета (1975).