Целостно закрытый домен

В коммутативной алгебре , целозамкнут домен является область целостности которого целого замыкание в своем поле частных является самим по себе. Проясняя это, это означает, что если x является элементом поля частных A, который является корнем монического многочлена с коэффициентами в A, то x сам является элементом A. Многие хорошо изученные области интегрально замкнуты: поля , кольцо целых чисел Z , уникальные области факторизации ирегулярные локальные кольца целиком замкнуты.

Обратите внимание, что интегрально замкнутые области появляются в следующей цепочке классовых включений :

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ области целостности ⊃ интегрально замкнутые области ⊃ области GCD ⊃ уникальные области факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Основные свойства [ править ]

Пусть быть целозамкнутая область с полем частных K и пусть L быть расширение поля из K . Тогда х ∈ L является интегралом над А тогда и только тогда , когда оно алгебраическое над К и его минимальный многочлен над К имеет коэффициенты в А . ^[1] В частности, это означает, что любой элемент интеграла L над A является корнем монического многочлена от A [ X ], который равеннеприводима в K [ X ].

Если это область , содержащаяся в поле К, мы можем рассмотреть целое замыкание в А в К (то есть совокупность всех элементов K , которые являются неотъемлемой частью над A ). Это интегральное замыкание представляет собой интегрально замкнутую область.

Интегрально замкнутые области также играют роль в гипотезе теоремы понижения . Теорема утверждает, что если A ⊆ B является целым расширением областей, а A - целозамкнутой областью, то для расширения A ⊆ B имеет место свойство спуска .

Примеры [ править ]

Следующие целые области являются замкнутыми.

• Главные идеалы (в частности: целые числа и любое поле).
• Однозначным разложением на множители (в частности, любое кольцо многочленов над полем, над целыми числами, или по какой - либо однозначным разложением на множители.)
• Домена НОД (в частности, любой Безу домен или домен оценки ).
• Дедекиндово домен .
• Симметричная алгебра над полем (с каждой симметричной алгебры изоморфна кольцом многочленов от нескольких переменных над полем).
• Пусть - поле характеристики не 2 и кольцо многочленов над ним. Если - непостоянный многочлен без квадратов в , то является целозамкнутой областью. ^[2] В частности, является целозамкнутой областью, если . ^[3]${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle S = К [x_ {1}, \ точки, x_ {n}]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle S [у] / (у ^ {2} -f)}$${\ displaystyle k [x_ {0}, \ dots, x_ {r}] / (x_ {0} ^ {2} + \ dots + x_ {r} ^ {2})}$${\ displaystyle r \ geq 2}$

Чтобы дать не пример, ^[4] пусть k будет полем и ( A - это подалгебра, порожденная t ² и t ^3. ) A не является целочисленно замкнутой: у нее есть поле дробей , а монический многочлен от переменной X имеет корень t, который находится в поле дробей, но не в A. Это связано с тем, что плоская кривая имеет особенность в начале координат.${\ Displaystyle А = к [т ^ {2}, т ^ {3}] \ подмножество к [т]}$${\ Displaystyle к (т)}$${\ displaystyle X ^ {2} -t ^ {2}}$${\ displaystyle Y ^ {2} = X ^ {3}}$

Другой домен, который не является полностью замкнутым, - это ; он не содержит элемента своего поля дробей, удовлетворяющего приведенному многочлену .${\ Displaystyle А = \ mathbb {Z} [{\ sqrt {5}}]}$${\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}}}$${\ displaystyle X ^ {2} -X-1 = 0}$

Нётеровский интегрально замкнутый домен [ править ]

Для нётеровой локальной области A размерности один следующие утверждения эквивалентны.

• A целиком замкнуто.
• Максимальный идеал A является главным.
• A - кольцо дискретной оценки (эквивалентно A - Dedekind.)
• A - правильное локальное кольцо.

Пусть A - нётерова область целостности. Тогда A интегрально замкнуто тогда и только тогда, когда (i) A является пересечением всех локализаций над простыми идеалами высоты 1 и (ii) локализация на простом идеале высоты 1 является кольцом дискретного нормирования.${\ Displaystyle А _ {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle А _ {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

Нётерово кольцо является областью Крулля тогда и только тогда, когда оно является целозамкнутой областью.

В нётеровой ситуации мы имеем следующее: область целостности интегрально замкнута тогда и только тогда, когда она является пересечением всех колец оценки, содержащих ее.

Нормальные кольца [ править ]

Авторы, в том числе Серр , Гротендик и Мацумура, определяют нормальное кольцо как кольцо, локализации которого в простых идеалах представляют собой целозамкнутые области. Такое кольцо обязательно является приведенным кольцо , ^[5] , и это иногда включается в определении. В общем, если A - нётерово кольцо, все локализации которого в максимальных идеалах представляют собой области, то A - конечное произведение областей. ^[6] В частности, если A - нётерово нормальное кольцо, то области в произведении являются целозамкнутыми областями. ^[7]Наоборот, любое конечное произведение целозамкнутых областей нормально. В частности, если нётерова, нормальная и связная, то A - целозамкнутая область. (ср. гладкое разнообразие )${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (A)}$

Пусть A - нётерово кольцо. Тогда ( критерий Серра ) нормально тогда и только тогда , когда она удовлетворяет следующему: для любого простого идеала ,${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

• (i) Если имеет высоту , то является регулярным (т. е. является кольцом дискретного оценивания ).${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle \ leq 1}$${\ Displaystyle А _ {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle А _ {\ mathfrak {p}}}$
• (ii) Если имеет высоту , значит, имеет глубину . ^[8]${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle \ geq 2}$${\ Displaystyle А _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle \ geq 2}$

Пункт (i) часто выражается как «правильный в коразмерности 1». Примечание (i) подразумевает, что набор ассоциированных простых чисел не имеет вложенных простых чисел , и, когда (i) имеет место, (ii) означает, что у него нет вложенных простых чисел для любого ненулевого делителя f . В частности, кольцо Коэна-Маколея удовлетворяет (ii). Геометрически мы имеем следующее: если X - локальное полное пересечение в неособом многообразии; ^[9] например, сам X неособен, тогда X - Коэн-Маколея; т.е. стебли структурного пучка Коэна-Маколея для всех простых идеалов p. Тогда мы можем сказать: X есть${\ displaystyle Ass (A)}$${\ displaystyle Ass (A / fA)}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {p}}$нормальным (т. е. все стебли его структурного пучка нормальны) тогда и только тогда, когда он регулярен в коразмерности 1 .

Полностью закрытые домены [ править ]

Пусть A - область, K - поле частных. Элемент х в К называется почти интеграл по А если Подкольцо [ х ] из K , порожденной А и х представляет собой дробный идеал из А ; то есть если есть такой то на всех . Тогда A называется вполне целозамкнутым, если каждый почти целочисленный элемент K содержится в A${\ displaystyle d \ neq 0}$${\ displaystyle dx ^ {n} \ in A}$${\ Displaystyle п \ geq 0}$. Полностью замкнутая область интегрально замкнута. Наоборот, нетерова целозамкнутая область полностью интегрально замкнута.

Предположим, что A полностью целозамкнута. Тогда кольцо формальных степенных рядов полностью замкнуто. ^[10] Это важно, поскольку аналог неверен для интегрально замкнутой области: пусть R будет оценочной областью высотой не менее 2 (которая интегрально замкнута). Тогда интегрально не замкнута. ^[11] Пусть L является расширение поля K . Тогда интегральное замыкание A в L полностью целозамкнуто. ^[12]${\ Displaystyle А [[X]]}$${\displaystyle R[[X]]}$

Область целостности полностью интегрально замкнута тогда и только тогда, когда моноид делителей A является группой. ^[13]

См. Также: Домен Krull .

«Целостно закрытые» под конструкциями [ править ]

Следующие условия эквивалентны для области целостности A :

1. A целиком замкнуто;
2. A _p (локализация A относительно p ) интегрально замкнута для любого простого идеала p ;
3. A _m целозамкнуто для любого максимального идеала m .

1 → 2 следует сразу из сохранения целостного замыкания при локализации; 2 → 3 тривиально; 3 → 1 следует из сохранения интегрального замыкания при локализации, точности локализации и того свойства, что A -модуль M равен нулю тогда и только тогда, когда его локализация относительно каждого максимального идеала равна нулю.

Напротив, «интегрально замкнутый» не проходит через фактор, поскольку Z [t] / (t ² +4) не является целозамкнутым.

Локализация полностью замкнутого объекта не обязательно должна быть полностью замкнутой. ^[14]

Прямым пределом целозамкнутых областей является целозамкнутая область.

Модули над интегрально замкнутым доменом [ править ]

Пусть A - нётерова целозамкнутая область.

Идеал I из А является дивизориальной тогда и только тогда , когда каждым ассоциированным простым из A / I имеет высоту один. ^[15]

Обозначим через P множество всех простых идеалов в A высоты один. Если T - конечно порожденный торсионный модуль, можно положить:

${\displaystyle \chi (T)=\sum _{p\in P}\operatorname {length} _{p}(T)p}$,

что имеет смысл как формальная сумма; т. е. делитель. Мы пишем для класса дивизоров d . Если - максимальные подмодули в M , то ^[16] и обозначается (по Бурбаки) через .${\displaystyle c(d)}$${\displaystyle F,F'}$${\displaystyle c(\chi (M/F))=c(\chi (M/F'))}$${\displaystyle c(\chi (M/F))}$${\displaystyle c(M)}$

См. Также [ править ]

• Одноотраслевое местное кольцо

Ссылки [ править ]

• Бурбаки. Коммутативная алгебра .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157
• Каплански, Ирвинг (сентябрь 1974 г.). Коммутативные кольца . Лекции по математике. Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-42454-5.
• Мацумура, Хидеюки (1989). Коммутативная теория колец . Кембриджские исследования в области высшей математики (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-36764-6.
• Мацумура, Хидеюки (1970). Коммутативная алгебра . ISBN 0-8053-7026-9.