Линейный пролет

В математике , то линейная оболочка (также называется линейную оболочку ^[1] или просто пролет ) в виде множества S из векторов (из векторного пространства ), обозначаемый промежуток ( S ) , ^{[2] [3]} является наименьшим линейным подпространством , что содержит набор. ^[4] Его можно охарактеризовать либо как пересечение всех линейных подпространств , содержащих S , либо как набор линейных комбинаций элементов из S. Таким образом, линейная оболочка набора векторов является векторным пространством. Пролеты можно обобщить на матроиды и модули .

Чтобы выразить, что векторное пространство V является промежутком множества S , обычно используются следующие фразы: S охватывает V ; S порождает V ; V натянуто на S ; V порождается S ; S представляет собой охватывающее множество из V ; S представляет собой порождающее множество из V .

Определение [ править ]

Учитывая векторное пространство V над полем K , пролет из множества S векторов (не обязательно бесконечно) определяется как пересечение W всех подпространств из V , которые содержат S . W упоминается как подпространство , натянутое на S , или векторами в S . С другой стороны , S называется охватывающую множество из W , и мы говорим , что S пролеты W .

В качестве альтернативы, промежуток S может быть определен как множество всех конечных линейных комбинаций элементов (векторов) S , что следует из приведенного выше определения. ^{[5] [6] [7] [8]}

${\displaystyle \operatorname {span} (S)=\left\{{\left.\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}v_{i}\right|k\in \mathbb {N} ,v_{i}\in S,\lambda _{i}\in K}\right\}.}$

В случае бесконечного S бесконечные линейные комбинации (т. Е. Когда комбинация может включать бесконечную сумму, предполагая, что такие суммы определены каким-то образом, например, в банаховом пространстве ) исключаются определением; обобщение , которое позволяет этим не эквивалентны.

Примеры [ править ]

Заштрихованная плоскость - это линейная оболочка u и v в R ³ .

Реальные векторное пространство R ³ имеет {(-1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} , как остовный набор. Этот конкретный покрывающий набор также является основой . Если (-1, 0, 0) были заменены (1, 0, 0), было бы также формировать канонический базис из R ³ .

Другой охватывающий набор для того же пространства задается {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (-1, ¹ / ₂ , 3), (1, 1, 1)}, но это набор не является основой, потому что он линейно зависим .

Множество {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} не является остовным множеством R ³ , поскольку его промежуток - это пространство всех векторов в R ³ , последний компонент равен нулю. Это пространство также охватывает набор {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, поскольку (1, 1, 0) является линейной комбинацией (1, 0, 0) и (0, 1, 0). Однако он охватывает R ² (при интерпретации как подмножество R ³ ).

Пустой набор является охватывающим набором {(0, 0, 0)}, поскольку пустой набор является подмножеством всех возможных векторных пространств в R ³ , а {(0, 0, 0)} является пересечением всех из эти векторные пространства.

Набор функций x ^n, где n - неотрицательное целое число, охватывает пространство многочленов.

Теоремы [ править ]

Теорема 1: подпространство , натянутое на непустое подмножество S векторное пространство V есть множество всех линейных комбинаций векторов в S .

Эта теорема настолько хорошо известна, что иногда ее называют определением диапазона множества.

Теорема 2: Каждый охватывающее множество S векторного пространства V должен содержать , по крайней мере , столько же элементы, что и любой линейно независимый набор векторов из V .

Теорема 3. Пусть V - конечномерное векторное пространство. Любой набор векторов, который охватывает V, может быть сокращен до базиса для V , отбрасывая векторы, если это необходимо (т. Е. Если в наборе есть линейно зависимые векторы). Если выбранная аксиома верна, это верно без предположения, что V имеет конечную размерность.

Это также указывает на то, что базис является минимальным остовным множеством, когда V конечномерно.

Обобщения [ править ]

Обобщая определение промежутка точек в пространстве, подмножество X основного набора матроида называется остовным набором , если ранг X равен рангу всего основного набора ^{[ необходима цитата ]} .

Определение векторного пространства также может быть обобщено на модули. ^{[9] [10]} Учитывая R - модуль A и набор элементов ₁ , ..., _п из А , то подмодуль в А , натянутое на ₁ , ..., _п есть сумма циклических модулей

${\displaystyle Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}=\left\{\sum _{k=1}^{n}r_{k}a_{k}{\Big |}r_{k}\in R\right\}}$

состоящий из всех R -линейных комбинаций элементов a _i . Как и в случае векторных пространств, подмодуль A, натянутый на любое подмножество A, является пересечением всех подмодулей, содержащих это подмножество.

Замкнутый линейный пролет (функциональный анализ) [ править ]

В функциональном анализе , замкнутая линейная оболочка множества из векторов является минимальным замкнутым множеством, содержащим линейную оболочкой этого множества.

Пусть X нормированное векторное пространство и Е быть любым непустое подмножество X . Замкнутая линейная оболочка из Е , обозначается или , есть пересечение всех замкнутых линейных подпространств X , которые содержат E .${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {Span} }}(E)}$

Одна математическая формулировка этого:

${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)=\{u\in X|\forall \epsilon >0\,\exists x\in \operatorname {Sp} (E):\|x-u\|<\epsilon \}.}$

Замкнутая линейная оболочка множества функций x ⁿ на интервале [0, 1], где n - неотрицательное целое число, зависит от используемой нормы. Если L 2 норма используется, то замкнутая линейная оболочка является гильбертово пространство из квадратично интегрируемых функций на отрезке. Но если использовать максимальную норму , замкнутая линейная оболочка будет пространством непрерывных функций на интервале. В любом случае замкнутая линейная оболочка содержит функции, которые не являются полиномами, и поэтому не находятся в самой линейной оболочке. Однако мощность множества функций в замкнутой линейной оболочке равна мощности континуума, которая имеет ту же мощность, что и множество многочленов.

Заметки [ править ]

Линейная оболочка множества плотна в замкнутой линейной оболочке. Более того, как указано в следующей лемме, замкнутая линейная оболочка действительно является замыканием линейной оболочки.

Замкнутые линейные промежутки важны при работе с замкнутыми линейными подпространствами (которые сами по себе очень важны, см . Лемму Рисса ).

Полезная лемма [ править ]

Пусть X нормированное пространство и Е быть любое непустое подмножество X . потом

(Таким образом, обычный способ найти замкнутую линейную оболочку - сначала найти линейную оболочку, а затем замыкание этой линейной оболочки.)

См. Также [ править ]

• Аффинная оболочка
• Коническая комбинация
• Выпуклый корпус

Цитаты [ править ]

Источники [ править ]

Учебник [ править ]

• Акслер, Шелдон Джей (2015). Линейная алгебра, сделанная правильно (3-е изд.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Хефферон, Джим (2020). Линейная алгебра (4-е изд.). Ортогональное издательство. ISBN 978-1-944325-11-4.
• Лейн, Сондерс Мак ; Биркгоф, Гаррет (1999) [1988]. Алгебра (3-е изд.). AMS Chelsea Publishing . ISBN 978-0821816462.
• Роман, Стивен (2005). Продвинутая линейная алгебра (2-е изд.). Springer . ISBN 0-387-24766-1.
• Rynne, Brian P .; Янгсон, Мартин А. (2008). Линейный функциональный анализ . Springer. ISBN 978-1848000049.

Интернет [ править ]

• Ланкхам, Исайя; Нахтергаэле, Бруно ; Шиллинг, Энн (13 февраля 2010 г.). «Линейная алгебра - как введение в абстрактную математику» (PDF) . Калифорнийский университет в Дэвисе . Проверено 27 сентября 2011 года .
• «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . Дата обращения 16 февраля 2021 .
• Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Векторный пространственный размах» . MathWorld . Дата обращения 16 февраля 2021 .
• «Линейный корпус» . Энциклопедия математики . 5 апреля 2020 . Дата обращения 16 февраля 2021 .

Внешние ссылки [ править ]

• Линейные комбинации и промежуток: понимание линейных комбинаций и промежутков векторов , khanacademy.org.
• Сандерсон, Грант (6 августа 2016 г.). «Линейные комбинации, промежуток и базисные векторы» . Суть линейной алгебры - через YouTube .