В математике , квадратурный исторический термин , который означает , что процесс определения площади . Этот термин до сих пор используется в контексте дифференциальных уравнений , где «решение уравнения с помощью квадратуры» или «приведение к квадратуре» означает выражение его решения в терминах интегралов .
Проблемы квадратурные служили в качестве одного из основных источников проблем в развитии исчисления и ввести важные темы в математическом анализе .
История
Математики Древней Греции , согласно доктрине Пифагора , понимали определение площади фигуры как процесс геометрического построения квадрата, имеющего такую же площадь ( возведение в квадрат ), отсюда и название квадратуры для этого процесса. Греческие геометры не всегда были успешными (см. Квадратуру круга ), но они действительно выполняли квадратуры некоторых фигур, стороны которых не были просто отрезками прямых, таких как луны Гиппократа и квадратура параболы . По греческой традиции эти конструкции должны были выполняться только с помощью циркуля и линейки .
Для квадратуры прямоугольника со сторонами a и b необходимо построить квадрат со стороной( геометрическое среднее из и б ). Для этой цели можно использовать следующее: если нарисовать окружность диаметром, образованную соединением отрезков прямой длиной a и b , то высота ( BH на схеме) отрезка, проведенного перпендикулярно диаметру, от точка их соединения с точкой, где она пересекает круг, равна среднему геометрическому a и b . Подобная геометрическая конструкция решает задачи о квадратуре параллелограмма и треугольника.
Задачи квадратуры для криволинейных фигур намного сложнее. Квадратура круга с циркулем и линейкой оказалась невозможной в XIX веке. Тем не менее, для некоторых фигур (например, луны Гиппократа) квадратура может быть выполнена. Квадратуры поверхности сферы и парабола сегмента открытого Архимедом стали высшим достижением анализа в древности.
- Площадь поверхности сферы в четыре раза больше площади круга, образованного большим кругом этой сферы.
- Площадь отрезка параболы, определяемого прямой, пересекающей его, составляет 4/3 площади вписанного в этот отрезок треугольника.
Для доказательства этих результатов, Архимед использовал метод истощения [1] : 113 из Евдокса .
В средневековой Европе квадратура означала расчет площади любым методом. Чаще всего использовался метод неделимых ; он был менее строгим, чем геометрические конструкции греков, но был проще и мощнее. С его помощью Галилео Галилей и Жиль де Роберваль нашли область циклоидной арки, Грегуар де Сен-Винсент исследовал область под гиперболой ( Opus Geometricum , 1647), [1] : 491 и Альфонс Антонио де Сараса , де Сен-Винсент. Ученик и комментатор Винсента отметил отношение этой области к логарифмам . [1] : 492 [2]
Джон Уоллис изучил этот метод; он написал в своей Arithmetica Infinitorum (1656) ряд рядов, эквивалентных тому, что сейчас называется определенным интегралом , и вычислил их значения. Исаак Барроу и Джеймс Грегори добились дальнейшего прогресса: квадратуры для некоторых алгебраических кривых и спиралей . Христиан Гюйгенс успешно выполнил квадратуру площади поверхности некоторых тел вращения .
Квадратура гиперболы Сен-Винсента и де Сарасы дала новую критически важную функцию - натуральный логарифм . С изобретением интегрального исчисления появился универсальный метод вычисления площади. В ответ термин « квадратура » стал традиционным, и вместо этого современная фраза « нахождение площади» чаще используется для того, что технически является вычислением одномерного определенного интеграла .
Смотрите также
Заметки
- ^ a b c Кац, Виктор Дж. (1998). История математики: Введение (2-е изд.). Эддисон Уэсли Лонгман. ISBN 0321016181.
- ^ Энрике А. Гонсалес-Веласко (2011) Путешествие по математике , § 2.4 Гиперболические логарифмы, стр.117
Рекомендации
- Бойер, CB (1989) История математики , 2-е изд. rev. пользователя Uta C. Merzbach . Нью-Йорк: Вили, ISBN 0-471-09763-2 (изд., 1991 г. ISBN 0-471-54397-7 ).
- Ивс, Ховард (1990) Введение в историю математики , Сондерс, ISBN 0-03-029558-0 ,
- Христиан Гюйгенс (1651) Теорема квадратуры Hyperboles, Ellipsis et Circuli
- Жан-Этьен Монукла (1873) История квадратуры круга , переводчик Дж. Бабина, редактор Уильяма Александра Майерса, ссылка с HathiTrust .
- Кристоф Скриба (1983) «Сходящаяся двойная последовательность Грегори: новый взгляд на противоречие между Гюйгенсом и Грегори по поводу« аналитической »квадратуры круга», Historia Mathematica 10: 274–85.