Квадратная матрица

Квадратная матрица порядка 4. Элементы образуют главную диагональ квадратной матрицы. Например, главная диагональ матрицы 4 × 4 выше содержит элементы a ₁₁ = 9 , a ₂₂ = 11 , a ₃₃ = 4 , a ₄₄ = 10 .${\ displaystyle a_ {ii}}$

В математике , A квадратная матрица представляет собой матрицу с тем же количеством строк и столбцов. An N матрицу с размерностью п матрица называется квадратной матрицей порядка . Любые две квадратные матрицы одного порядка можно складывать и умножать. ${\ displaystyle n}$

Квадратные матрицы часто используются для представления простых линейных преобразований , таких как сдвиг или вращение . Например, если это квадратная матрица , представляющая вращения ( матрицу вращения ) и представляет собой вектор - столбец , описывающий положение точки в пространстве, продукт дает другой вектор - столбец , описывающий положение этой точки после этого вращения. Если это вектор - строка , то же превращение может быть получен с использованием , где это транспонированная из .${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle R \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} R ^ {\ mathsf {T}}}$${\ Displaystyle R ^ {\ mathsf {T}}}$${\ displaystyle R}$

Главная диагональ [ править ]

Элементы ( i = 1,…, n ) образуют главную диагональ квадратной матрицы. Они лежат на воображаемой линии, идущей от верхнего левого угла до нижнего правого угла матрицы. Например, главная диагональ матрицы 4 × 4 выше содержит элементы a ₁₁ = 9 , a ₂₂ = 11 , a ₃₃ = 4 , a ₄₄ = 10 . ${\ displaystyle a_ {ii}}$

Диагональ квадратной матрицы от верхнего правого до нижнего левого угла называется антидиагональю или контрдиагональю .

Особые виды [ править ]

Имя	Пример с n = 3
Диагональная матрица	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {11} & 0 & 0 \\ 0 & a_ {22} & 0 \\ 0 & 0 & a_ {33} \ end {bmatrix}}}$
Нижняя треугольная матрица	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}$
Верхняя треугольная матрица	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}$

Диагональная или треугольная матрица [ править ]

Если все элементы за пределами главной диагонали равны нулю, матрица называется диагональной . Если только все элементы выше (или ниже) главной диагонали равны нулю, матрица называется нижней (или верхней) треугольной .${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Матрица идентичности [ править ]

Единичная матрица размера является матрицей , в которой все элементы на главной диагонали равны 1 , а все остальные элементы равны 0, например ,${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ldots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$

Это квадратная матрица порядка , а также диагональная матрица особого вида . Она называется единичной матрицей, потому что умножение на нее оставляет матрицу неизменной: ${\displaystyle n}$

AI _n = I _m A = A для любойматрицыразмером m на n .${\displaystyle A}$

Обратимая матрица и ее обратная [ править ]

Квадратная матрица называется обратимой или невырожденной, если существует такая матрица , что${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle AB=BA=I_{n}.}$^{[1] [2]}

Если существует, то она единственна и называется обратной матрицей из , обозначается .${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{-1}}$

Симметричная или кососимметричная матрица [ править ]

Квадратная матрица , которая равна транспонированной, т.е. , является симметричной матрицей . Если вместо этого , то называется кососимметричной матрицей . ${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=A}$${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$${\displaystyle A}$

Для комплексной квадратной матрицы , часто соответствующий аналог транспонирования является сопряженной транспозицией , определяется как транспонированной комплексно сопряженное с . Комплексная квадратная матрица, удовлетворяющая условиям , называется эрмитовой матрицей . Если вместо этого , то называется косоэрмитовой матрицей .${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}=A}$${\displaystyle A^{*}=-A}$${\displaystyle A}$

Согласно спектральной теореме вещественные симметричные (или комплексные эрмитовы) матрицы имеют ортогональный (или унитарный) собственный базис ; т.е. каждый вектор может быть выражен как линейная комбинация собственных векторов. В обоих случаях все собственные значения действительны. ^[3]

Определенная матрица [ править ]

Положительно определенный	Неопределенный
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/4&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/4&0\\0&-1/4\end{bmatrix}}}$
Q ( х , у ) = 1/4 х 2 + у 2	Q ( х , у ) = 1/4 х 2 - 1/4 у 2
Точки такие, что Q ( x , y ) = 1 ( Эллипс ).	Точки такие, что Q ( x , y ) = 1 ( Гипербола ).

Симметричная n × n -матрица называется положительно определенной (соответственно отрицательно определенной; неопределенной), если для всех ненулевых векторов соответствующая квадратичная форма задается формулой ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

Q ( х ) = х ^Т А х

принимает только положительные значения (соответственно только отрицательные значения; как некоторые отрицательные, так и некоторые положительные значения). ^[4] Если квадратичная форма принимает только неотрицательные (соответственно только неположительные) значения, симметричная матрица называется положительно-полуопределенной (соответственно отрицательно-полуопределенной); следовательно, матрица неопределенна именно тогда, когда она не является ни положительно-полуопределенной, ни отрицательно-полуопределенной.

Симметричная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все ее собственные значения положительны. ^[5] В таблице справа показаны две возможности для матриц 2 × 2.

Использование в качестве входных данных двух разных векторов вместо этого дает билинейную форму, связанную с A :

B _A ( x , y ) = x ^T A y . ^[6]

Ортогональная матрица [ править ]

Ортогональная матрица представляет собой квадратную матрицу с реальными записями , чьи столбцы и строки являются ортогональные единичные векторы (т.е. ортонормальные векторы). Эквивалентно, матрица A ортогональна, если ее транспонирование равно ее обратной :

${\displaystyle A^{\textsf {T}}=A^{-1},}$

что влечет за собой

${\displaystyle A^{\textsf {T}}A=AA^{\textsf {T}}=I,}$

где I - единичная матрица .

Ортогональная матрица A обязательно обратима (с обратным A ⁻¹ = A ^T ), унитарна ( A ⁻¹ = A * ) и нормальна ( A * A = AA * ). Определитель любой ортогональной матрицы равен +1 или -1. Специальная ортогональная группа состоит из п × п ортогональных матриц с определителем +1. ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$

Комплекс аналог ортогональной матрицы является унитарной матрицей .

Нормальная матрица [ править ]

Действительная или комплексная квадратная матрица называется нормальной, если . Если вещественная квадратная матрица симметрична, кососимметрична или ортогональна, то она нормальна. Если комплексная квадратная матрица эрмитова, косоэрмитова или унитарная, то она нормальна. Нормальные матрицы представляют интерес главным образом потому, что они включают в себя только что перечисленные типы матриц и образуют широчайший класс матриц, для которых справедлива спектральная теорема . ^[7]${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}}$

Операции [ править ]

След [ править ]

След , тр ( ) квадратной матрицы А есть сумма ее диагональных элементов. Хотя матричное умножение не коммутативно, след произведения двух матриц не зависит от порядка множителей:

${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).}$

Это сразу следует из определения умножения матриц:

${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} (BA).}$

Кроме того, след матрицы равен следу ее транспонирования, т. Е.

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} }).}$

Определитель [ править ]

Линейное преобразование, заданное указанной матрицей. Определитель этой матрицы равен -1, так как площадь зеленого параллелограмма справа равна 1, но карта меняет ориентацию , так как она меняет ориентацию векторов против часовой стрелки на правую .${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Детерминантой или квадратной матрицы представляет собой число , кодирующие определенные свойства матрицы. Матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Его абсолютное значение равно площади (в ) или объему (в ) изображения единичного квадрата (или куба), а его знак соответствует ориентации соответствующей линейной карты: определитель положителен тогда и только тогда, когда ориентация сохранились.${\displaystyle \det(A)}$${\displaystyle |A|}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Определитель матриц 2 × 2 задается формулой

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}$

Определитель матриц 3 × 3 включает 6 членов ( правило Сарруса ). Более длинная формула Лейбница обобщает эти две формулы на все измерения. ^[8]

Определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей: ^[9]

${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)}$

Добавление кратного числа любой строки к другой строке или кратного числа любого столбца к другому столбцу не меняет определителя. Перестановка двух строк или двух столбцов влияет на определитель, умножая его на -1. ^[10] Используя эти операции, любую матрицу можно преобразовать в нижнюю (или верхнюю) треугольную матрицу, и для таких матриц определитель равен произведению элементов на главной диагонали; это дает метод вычисления определителя любой матрицы. Наконец, разложение Лапласа выражает определитель через миноры , т. Е. Определители матриц меньшего размера. ^[11]Это расширение может использоваться для рекурсивного определения определителей (взяв в качестве начального случая определитель матрицы 1 × 1, который является ее уникальным элементом, или даже определитель матрицы 0 × 0, который равен 1), который может быть как эквивалент формулы Лейбница. Детерминанты могут использоваться для решения линейных систем с использованием правила Крамера , где деление определителей двух связанных квадратных матриц приравнивается к значению каждой из переменных системы. ^[12]

Собственные значения и собственные векторы [ править ]

Число λ и ненулевой вектор, удовлетворяющие${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$

которые называют собственное значение и собственный вектор из , соответственно. ^{[13] [14]} Число λ является собственным значением из п × п -матрицы А тогда и только тогда , когда A - λ I _п не является обратимым, что эквивалентно , чтобы${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det(A-\lambda I)=0.}$^[15]

Многочлен р в неопределенном X , заданной оценкой определителя DET ( XI _п - А ) называется характеристический полином из A . Это унитарный многочлен от степени п . Следовательно, полиномиальное уравнение p _A (λ) = 0 имеет не более n различных решений, т. Е. Собственных значений матрицы. ^[16] Они могут быть сложными, даже если элементы A действительны. Согласно теореме Кэли – Гамильтона , p _A ( A ) = 0, то есть результат подстановки самой матрицы в ее собственный характеристический полином даетнулевую матрицу.

См. Также [ править ]

• Матрица Картана

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Браун, Уильям К. (1991), Матрицы и векторные пространства , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Марсель Деккер , ISBN 978-0-8247-8419-5
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
• Мирский, Леонид (1990), Введение в линейную алгебру , Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с квадратными матрицами на Викискладе?