Виталий набор

В математике , набор Виталий элементарный пример из множества действительных чисел , которые не измеримы по Лебегу , найденной Джузеппе Витали в 1905 году ^[1] Виталий теорема является теорема существования , что есть такие наборы. Существует бесчисленное множество множеств Витали, и их существование зависит от выбранной аксиомы . В 1970 году Роберт Соловей построил модель теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора, в которой все наборы действительных чисел измеримы по Лебегу, предполагая существование недоступного кардинала.(см. модель Соловея ). ^[2]

Измеримые множества [ править ]

Некоторые наборы имеют определенную «длину» или «массу». Например, интервал [0, 1] считается имеющим длину 1; в более общем случае считается, что интервал [ a , b ], a ≤ b , имеет длину b  -  a . Если мы думаем о таких интервалах как о металлических стержнях с однородной плотностью, они также имеют четко определенные массы. Набор [0, 1] ∪ [2, 3] состоит из двух интервалов длины один, поэтому мы принимаем его общую длину равной 2. С точки зрения массы, у нас есть два стержня с массой 1, поэтому общая масса равна 2.

Возникает естественный вопрос: если E - произвольное подмножество реальной линии, имеет ли она «массу» или «общую длину»? В качестве примера мы можем спросить, какова масса набора рациональных чисел , учитывая, что масса интервала [0, 1] равна 1. Рациональные числа плотны в вещественных числах, поэтому любое значение между 0 и 1 включительно может показаться разумным.

Однако наиболее близким обобщением к массе является сигма-аддитивность , которая порождает меру Лебега . Он присваивает меру b - a интервалу [ a , b ], но присваивает меру 0 набору рациональных чисел, потому что он счетный . Любое множество, которое имеет четко определенную меру Лебега, называется «измеримым», но конструкция меры Лебега (например, с использованием теоремы о расширении Каратеодори ) не делает очевидным, существуют ли неизмеримые множества. Ответ на этот вопрос включает аксиому выбора .

Конструкция и доказательство [ править ]

Витали множество является подмножеством из интервала [0, 1] из действительных чисел таким образом, что, для каждого действительного числа , существует ровно одно число такое , что является рациональным числом . Множества Витали существуют, потому что рациональные числа Q образуют нормальную подгруппу действительных чисел R при сложении , и это позволяет построить аддитивную фактор-группу R / Q этих двух групп, которая является группой, образованной смежными классами рациональных чисел как подгруппа добавляемых действительных чисел. Эта группа R /${\ displaystyle V}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle v \ in V}$${\ displaystyle vr}$ Вопрос состоит из непересекающихся «сдвинуты копий» из Q в том смысле , что каждый элемент этой группы фактора представляет собой множество вида Q + г для некоторого г в R . В несчетное многие элементы R / Q разбиения R , и каждый элемент плотно в R . Каждый элемент R / Q пересекает [0, 1], и выбранная аксиома гарантирует существование подмножества [0, 1], содержащего ровно одного представителя из каждого элемента R / Q. Сформированный таким образом набор называется набором Витали.

Каждый набор Витали неисчислим и нерационален для любого .${\ displaystyle V}$${\ displaystyle vu}$${\ Displaystyle и, v \ in V, и \ neq v}$

Неизмеримость [ править ]

Множество Витали неизмеримо. Чтобы показать это, мы предполагаем, что V измеримо, и приходим к противоречию. Пусть q ₁ , q ₂ , ... перечисление рациональных чисел в [−1, 1] (напомним, что рациональные числа счетны ). Из построения V заметим, что сдвинутые множества , k = 1, 2, ... попарно не пересекаются, и далее отметим, что ${\displaystyle V_{k}=V+q_{k}=\{v+q_{k}:v\in V\}}$

${\displaystyle [0,1]\subseteq \bigcup _{k}V_{k}\subseteq [-1,2]}$.

Чтобы увидеть первое включение, рассмотрим любое действительное число r в [0, 1] и пусть v будет представителем в V класса эквивалентности [ r ]; тогда r - v = q _i для некоторого рационального числа q _i в [-1, 1], из которого следует, что r находится в V _i .

Примените к этим включениям меру Лебега, используя сигма-аддитивность :

${\displaystyle 1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V_{k})\leq 3.}$

Поскольку мера Лебега инвариантна относительно сдвигов, поэтому${\displaystyle \lambda (V_{k})=\lambda (V)}$

${\displaystyle 1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V)\leq 3.}$

Но это невозможно. Суммирование бесконечного числа копий константы λ ( V ) дает либо ноль, либо бесконечность, в зависимости от того, равна ли константа нулю или положительна. Ни в том, ни в другом случае сумма в [1, 3] не является суммой. Таким образом, V не может быть измеримым в конце концов, т. Е. Мера Лебега λ не должна определять какое-либо значение для λ ( V ).

См. Также [ править ]

• Неизмеримый набор
• Парадокс Банаха – Тарского

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Герлих, Хорст (2006). Аксиома выбора . Springer. п. 120 .
• Виталий, Джузеппе (1905). "Sul проблема della misura dei gruppi di punti di una retta". Болонья, Тип. Gamberini e Parmeggiani .