Родился в Москве в семье книжного графика Евгения Авалиани (погиб в 1941 г. в Московском ополчении)[1]. Окончив кафедру экономической географии СССР географического факультета МГУ, долгое время работал по специальности, затем, в связи с обострением болезни Бехтерева, — сторожем.
В конце 60-х — начале 70-х примыкал к московской литературной группе Иоффе-Сабурова, которая существовала около десяти лет как общность авторов, очень разных, но близких в основных творческих позициях. Вошёл в число авторов первого и единственного номера самиздатского журнала «Литературный вестник», составленного в 1969 году, наряду с Айзенбергом, Иоффе, Маковским, Сабуровым, Шленовым[2]. Работал во многих жанрах, в том числе палиндрома и визуальной поэзии. Не публиковался до 1992 г., с 1995 по 2000 гг. выпустил четыре книги стихов и других экспериментальных текстов. Погиб под колёсами автомобиля.
Стихи Авалиани сочетают лёгкость звучания и изящество фразировки с герметичной образностью, следуя лирике Мандельштама начала 1930-х годов. Однако наибольшее признание Авалиани принесли не они. Прежде всего, наряду с Владимиром Гершуни, Еленой Кацюбой и, несколько ранее, Николаем Ладыгиным, Авалиани является основоположником современного русского палиндрома. Исключительный вклад внесён Авалиани и в развитие русской визуальной поэзии: он изобрёл (независимо от более ранних англоязычных прецедентов) и довёл до совершенства своеобразную поэтическую форму, получившую название листовертень — текст небольшого размера (от одного слова до нескольких строк), выписанный таким образом, чтобы при переворачивании (на 180°, реже на 90°) читался уже другой текст (в отдельных случаях тот же самый, иногда два прочтения составляют вместе рифмованное двустишие или четверостишие). Как отмечал Дмитрий Кузьмин,
твёрдо знаю, что в школьной программе должен быть ныне здравствующий поэт Дмитрий Евгеньевич Авалиани со своими листовертнями, потому что эти маленькие мультики, герои которых — слова, блистательно решают задачу одомашнивания слова, его приручения в игре, при сохранении за ним полновесного экзистенциального содержания[3].
Авалиани также развил и превратил в особую литературную форму панторифмы и анаграммы, экспериментировал с некоторыми другими редкими и трудными приёмами стихосложения.