Аксиома детерминированности
Аксиома детерминированности — аксиома теории множеств, обычно обозначаемая AD. Эту аксиому предложили в 1962 году польские математики Ян Мычельский и Гуго Штейнгауз[1] в качестве замены для аксиомы выбора (введённой в 1904 году, обозначается AC). Причиной поиска альтернативы аксиоме выбора стали необычные следствия из этой аксиомы, которые вызывали и продолжают вызывать критику со стороны части математиков. Например, в случае применения аксиомы выбора возникают парадоксальные конструкции вроде «парадокса удвоения шара». Многие математики отмечали, что множества, существование которых доказывается с помощью аксиомы выбора, лишены индивидуальности в том смысле, что мы не можем исчерпывающе описать их состав из-за отсутствия ясного алгоритма выбора[2].
В классических разделах математики (теория чисел, математический анализ и др.) замена AC на AD ничего не меняет, но в теории множеств и топологии следствия из аксиомы детерминированности во многом существенно отличаются от следствий аксиомы выбора. Например, из AD следует, что все множества вещественных чисел измеримы, проблема континуума решается однозначно (промежуточных мощностей не существует), парадокс удвоения шара не возникает.
Аксиома детерминированности уже самим своим существованием вызвала большой интерес у специалистов по основаниям математики, ей посвящено немало публикаций[3], особенно в области дескриптивной теории множеств. По мнению сторонников этой аксиомы, ситуация в теории множеств сейчас напоминает положение после открытия неевклидовой геометрии — можно признать, что существует не одна теория множеств, а по крайней мере две, и вопрос о том, какая из них правильная, лишён смысла. Сторонники отмечают также, что теория множеств на основе аксиомы детерминированности более согласована с математической интуицией, чем на основе аксиомы выбора[2][4].
Аксиому детерминированности проще всего определить в терминах не теории множеств, а теории игр[5]. Рассмотрим некоторое (фиксированное) множество A, состоящее из бесконечных последовательностей натуральных чисел (такие последовательности образуют топологическое пространство Бэра[англ.]).
Определим игру для двух человек со следующими правилами. Игрок I, начиная игру, пишет натуральное число Игрок II, зная этот ход, пишет число Далее они продолжают по очереди формировать некоторую последовательность — игрок I выбирает чётные её элементы, игрок II — нечётные. Игра длится бесконечно, но результат её объявляется согласно следующему правилу: если сформированная последовательность содержится в заданном множестве A, то выиграл игрок I, иначе — игрок II.
