Альтернативная алгебра

---

Альтернативная алгебра — алгебра над полем, умножение в которой является альтернативным^[1]. Каждая ассоциативная алгебра, очевидно, альтернативна, однако существуют и неассоциативные альтернативные алгебры, примером которых являются октавы. Обобщение октав, седенионы, уже не обладают свойством альтернативности.

Для альтернативной алгебры и алгебры Мальцева существует аналог теоремы Пуанкаре — Биркгофа — Витта. Имеется следующая взаимосвязь между альтернативными алгебрами и алгебрами Мальцева: замена умножения g(A,B) в альтернативной алгебре M операцией коммутатора [A,B]=g(A,B)-g(B,A), превращает её в алгебру Мальцева ${\displaystyle M^{(-)}}$.

для любых элементов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y.}$ Отсюда, в силу полилинейности ассоциатора, несложно получить, что

где ${\displaystyle \sigma }$ — перестановка элементов ${\displaystyle x,y,z,}$ ${\displaystyle \mathrm {sgn} \,\sigma }$ — чётность этой перестановки. Верно и обратное: если ассоциатор альтернативен, то кольцо альтернативно. Именно из-за связи с альтернативностью ассоциатора альтернативные кольца получили такое название.

Аналогично можно показать, что для альтернативности ассоциатора достаточно выполнения любых двух из следующих тождеств:

---