Антиэрмитова матрица

---

Антиэрмитова матрица (косоэрмитова матрица) — квадратная матрица ${\displaystyle A}$, эрмитово сопряжение которой меняет знак исходной матрицы:

где через ${\displaystyle {\overline {x}}}$ обозначено комплексное сопряжение числа ${\displaystyle x}$.

Матрица ${\displaystyle B}$ эрмитова тогда и только тогда, когда матрица ${\displaystyle iB}$ антиэрмитова. Отсюда следует, что если ${\displaystyle A}$ — антиэрмитова, то матрицы ${\displaystyle \pm iA}$ эрмитовы. Также любая антиэрмитова матрица ${\displaystyle A}$ может быть представлена в виде ${\displaystyle A=iB}$, где ${\displaystyle B}$ — эрмитова. Таким образом, свойства антиэрмитовых матриц могут быть выражены при помощи свойств эрмитовых и наоборот.

Матрица ${\displaystyle A}$ антиэрмитова тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X^{*}A^{*}Y=-X^{*}AY}$ для любых векторов ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ (форма ${\displaystyle X^{*}AY}$ — антиэрмитова).

Антиэрмитовы матрицы замкнуты относительно сложения, умножения на вещественное число, возведения в нечётную степень, обращения (невырожденных матриц).

Чётная степень антиэрмитовой матрицы является эрмитовой матрицей. В частности, если ${\displaystyle A}$ — антиэрмитова, то ${\displaystyle A^{2}}$ — эрмитова.

---