Эрмитово сопряжённая матрица

---

Эрми́тово сопряжённая ма́трица (сопряжённо-транспони́рованная матрица) — матрица ${\displaystyle A^{*}}$ с комплексными элементами, полученная из исходной матрицы ${\displaystyle A}$ транспонированием и заменой каждого элемента комплексно сопряжённым ему.

Эрмитово сопряжённые матрицы во многом играют ту же роль при изучении комплексных векторных пространств, что и транспонированные матрицы в случае вещественных пространств. Обобщение понятия эрмитово сопряжённой матрицы на бесконечномерные пространства — сопряжённый оператор.

Если исходная матрица ${\displaystyle A}$ имеет размер ${\displaystyle m\times n}$, то эрмитово сопряжённая к ${\displaystyle A}$ матрица ${\displaystyle A^{*}}$ будет иметь размер ${\displaystyle n\times m}$, а её ${\displaystyle (i,j)}$-й элемент будет равен:

где ${\displaystyle {\overline {z}}}$ обозначает комплексно сопряжённое число к ${\displaystyle z}$ (сопряжённое число к ${\displaystyle a+bi}$ есть ${\displaystyle a-bi}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — вещественные числа).

Эрмитово сопряжённую матрицу обычно обозначают как ${\displaystyle A^{*}}$ или ${\displaystyle A^{H}}$ (от англ. Hermitian — эрмитова), но иногда применяются и другие обозначения, в частности, ${\displaystyle A^{\dagger }}$ (в квантовой механике) и ${\displaystyle A^{+}}$ (но редко используется, так как может быть спутано с обозначением для псевдообратной матрицы).

---