Сопряжённые числа

---

Сопряжённые числа (комплексно-сопряжённые числа) — пара комплексных чисел, обладающих одинаковыми действительными частями и равными по абсолютной величине, но противоположными по знаку, мнимыми частями^[1]. Например, сопряжёнными являются числа ${\displaystyle 3+4i}$ и ${\displaystyle 3-4i}$. Число, сопряжённое к числу ${\displaystyle z}$, обозначается ${\displaystyle {\overline {z}}}$. В общем случае, сопряжённым к числу ${\displaystyle z=a+ib}$ (где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — действительные числа) является ${\displaystyle {\overline {z}}=a-ib}$.

На комплексной плоскости сопряжённые числа представлены точками, симметричными относительно действительной оси. В полярной системе координат сопряжённые числа имеют вид ${\displaystyle re^{i\phi }}$ и ${\displaystyle re^{-i\phi }}$, что непосредственно следует из формулы Эйлера.

Сопряжёнными числами являются корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом.

Для произвольных комплексных чисел ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle w}$:

Если ${\displaystyle \phi }$ является голоморфной функцией, сужение которой на множество действительных чисел является действительной функцией, и определены ${\displaystyle \phi (z)}$, то:

---