Сопряжённый оператор

---

Сопряжённый оператор — обобщение понятия эрмитово-сопряжённой матрицы для бесконечномерных пространств.

Преобразование ${\displaystyle \varphi ^{*}}$ называется сопряжённым линейному преобразованию ${\displaystyle \varphi }$, если для любых векторов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ выполнено равенство ${\displaystyle \left(\varphi \left(x\right),y\right)=\left(x,\varphi ^{*}\left(y\right)\right)}$. У каждого преобразования существует единственное сопряжённое преобразование. Его матрица в базисе определяется по матрице преобразования формулой ${\displaystyle A^{*}=\Gamma ^{-1}A^{T}\Gamma }$, если пространство евклидово, и формулой ${\displaystyle A^{*}={\overline {\Gamma ^{-1}A^{T}\Gamma }}}$ в унитарном пространстве. ${\displaystyle \Gamma }$ здесь обозначает матрицу Грама выбранного базиса. Если он ортонормированный, эти формулы принимают вид ${\displaystyle A^{*}=A^{T}}$ и ${\displaystyle A^{*}={\bar {A}}^{T}}$ соответственно.

---