Бета-функция

---

В математике бета-функцией (${\displaystyle \mathrm {B} }$-функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух комплексных переменных:

определённая при ${\displaystyle \operatorname {Re} x>0}$, ${\displaystyle \operatorname {Re} y>0}$.

Бета-функция была изучена Эйлером, Лежандром^{[когда?]}, а название ей дал Жак Бине.

где ${\displaystyle \Gamma (x)}$ — Гамма-функция;

где ${\displaystyle (x)_{n}}$ — нисходящий факториал, равный ${\displaystyle x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdot \ldots \cdot (x-n+1)}$.

Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами:

---